ナイキスト周波数

質問

本やネットでナイキスト周波数という言葉を調べると
「サンプリング周波数の半分」と書かれている場合と「元の波形に含まれる最高周波数の2倍」と書かれている場合がありました。両者は等しくないと思うのですが、どちらが正しいのでしょうか？

回答No.2

blu_mntn · ベストアンサー

えーと　書き方がまずかったですかね。
紛らわしいのは確かですが(昔、自分も悩みました。)式で表せばわかっていただけるかと思います。
数式を敢えて避けていましたが、数式を出していただいて助かります。(私自身理系の癖に数式が苦手なもので、人に説明するときには可能ならば使わないことにしています。余計わかりづらい説明になったりしますが。)

サンプリング周波数fs,原信号の最高周波数fm,ナイキスト周波数fnとします。fn=fmが成立すると仮定しますと、
前者ではfn=fm=fs/2　<- これはがその通りです。
後者ではfn=2fm=fs <- こちらですが少し違いまして実は
2fn=2fm=fs というのが正しい式です。日本語の説明がまずかったようですね。すみません。
両者同じではないか、と思われることでしょう。そうです。同じなんです。以下説明します。
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まず、fs=2fn または fn=fs/2 というのがナイキスト周波数の「定義」です。これから言えば{前者}は定義を記述しています。

ここで、原信号の「取得し得る周波数fu」をナイキスト周波数を使って表しますと、fu≦fn です。
すなわち fu≦fn=fs/2 となります。つまり「fsでサンプリングすることでfn以下の全ての周波数をデジタル化できるということを意味する」訳です。これが「ナイキスト周波数の(存在する)意味」です。

このナイキスト周波数を利用して、実際のデジタル化を行うとします。
まず、原信号のうち、必要な信号の最大周波数をfmとします。(例えば原信号が音楽だったなら、人間の可聴域で最高である20KHz=fm とします。これ以上は取得したとしても再生時に聞くことが出来ませんから意味がないので。)fmは、対象の原信号が決まった時点で定まりますから定数です。
原信号の「取得しうる周波数fuのうち最大のものfm」をナイキスト周波数で表しますと、fm≦fnでなくてはなりません。この条件を崩すと、高い波長域で取りこぼしてしまいます。(音楽の例なら20KHzに近い周波数は取得できなくなる。)これが条件(a)fm≦fnです。

さらに現実には、不必要に高い周波数を取得しても、結局使えませんから無駄になります。一般に、取得周波数域を高くしようとするとコストがかかりますから、なるべくサンプリング周波数は低く抑えるべきです。すなわち、fsは可能な限り低くする、これが条件(b)です。

並べますと
定義　　fn=fs/2　または　fs=2fn
条件(a) fm≦fn
条件(b) fsは低いほど望ましい。

これら三つを満たしたfsを求めようとすると定義と(a)から、fs=2fn≧2fmとなるのにお気づきでしょうか。fsはもっと大きくても構わないのです。
それに効率を考え条件(b)「fs:低いほど望ましい」を追加すると、fs=2fn=2fm となる訳です。
これが{後者}にあたります。つまり、{後者}とは、定義である{前者}と違って、原信号からサンプリング周波数を求めようとしたときの視点で表現したナイキスト周波数のこと、なのです。実用上のナイキスト周波数の意味はこちらにあります。

[先にサンプリングしたい原信号の最大周波数(これ以上は取得しなくても良い、捨てて良い周波数)が決まっているのなら後者、「サンプリングするのに必要な最低周波数」となるのです]というのはここから来た説明です。

ややこしいですが、お分かりいただけますでしょうか。
{前者}は、定義:まずサンプリング周波数ありき、
である場合であり、
{後者}は、まず対象の信号があり、現実的なサンプリング周波数を求めたい場合
という視点の違い、なのです。
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余談ですが、現実のデジタル携帯電話/PHSは20KHzまできっちり取得はしていません。これは有線電話のデジタル回線でも同じことです。聞き取れるのは20KHzであっても、電話で伝えるべきは声であり、人間はそんなに高音の発声はできない、また言葉の内容さえ把握できれば良い、という考えからサンプリング周波数はかなり抑えたものになっています。(実は人間の最大発声周波数よりも下げてあります、そんなオペラみたいなものを電話で伝えるようには考えていないということです。ただし、デジタル配信・録音再生される音楽については通話音声とは別ルートと考えてください。)
ですから条件が良いときには、「昔のアナログ携帯及び、デジタル化される直前の昔アナログ有線電話」が、実は一番高音域まで含まれた「いい音」だったのです。

よく知りませんが、CDないしMDやMP3プレーヤーサウンドでも、効率の関係から、20KHzまできっちり取得していなかったと思います。これは確信は持てませんので良かったら調べてみてください。

以上、長文、乱文お許しくださいますよう。

お礼

blu_mntn様、ご丁寧な解説恐れ入ります。
fn=fm=fs/2が正しいということですね。
しかしながら、はっきりとfn=2fmで定義されている教科書等もいくつかありました。

例として、こちらのウェブページをご覧ください。
http://www.sendai-ct.ac.jp/~shimizu/fouries/chapter6/c6s2.html
（本来、正式な文献を挙げるべきところですが、文献名を忘れてしまいましたのでご了承ください。）

この点はどうお考えでしょうか？
度重なる質問で申し訳ありませんが、ご回答のほどよろしくお願いします。