xの2乗？

質問

積分を使って体積を求める問なんですがその模範解答が理解できません。問と解答と分からない点を下に書くので、分かった方、ぜひ教えてください。ちなみにxの2乗なら(x2)、xの3乗なら(x3)としました。

問　関数f(x)=(x2)/√((x4)＋2)3←分母に((x4)＋2)の3乗の√ということ

y＝f(x)(0≦x≦1)の表す曲線と直線およびｙ軸とで囲まれた部分をy軸周りに1回転してできる体積は？

解答　0≦x≦1のとき0≦y≦√3/9だから
　　　　体積＝π∫0から√3/9 (x2) dy
　　　ここでy=f(x)より
　　　　　　dy=f´(x)dx
　　　よって
　　　　体積＝π∫0から1 (x2)・f′（x）dx

分からない点
y軸周りに回転させるので、y=f(x)をxに関する関数に直してからその2乗を積分するのかなと思いきや、いきなりxの２乗をyで積分する式で、どうしてxの2乗なのかがわかりません。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

#2です。

＞g(x)=ｘ？ということです。

よく意味が分かりませんが、#2の
＞y=f(x)がx=g(y)と直せたとすれば、
の部分のg(y)の形が具体的にどうなるのか、って事でしょうか？

だとしたら、、、どうなるんでしょうねぇ？？

３次方程式を解いて、さらに、４乗根をとれば、g(y)の具体的な形が分かります。
が、かなり複雑になる事が予想されます。しかも、その積分はさらに複雑になりそうなので、頑張って計算しても報われないでしょうね。

むしろ、x=g(y)の具体的な形がよく分からない、つまり、
＞π∫[y:0→√3/9]g(y)^2dy
の積分が実行できないから、これを
＞　　　　体積＝π∫0から1 (x2)・f′（x）dx
のようにxに関する積分に直しているんですね。

もし、x=g(y)の具体的な形が分かるのであれば、
＞π∫[y:0→√3/9]g(y)^2dy
を(x=g(y)などと置換せずに)直接積分しても問題ありません。

＞このように積分変数をxに変換して体積を求める場合は、どんなy=f(x)でも　V=π∫x^2dy　として、dy=○○dxを代入すればよいと考えていいんでしょうか

もし、f'(x)の符号が途中で変わらないのであれば、
要するに、底面積がπx^2で、厚さがdyの円柱を足しているだけなので、基本的にはそのように考えて問題ありません。
ただ、f'(x)の符号が途中で変わってしまう場合には、ちょっとだけ怪しい感じになります^^;

お礼

なるほど…わかりました。類題を探してもっと練習してみます。ご親切にありがとうございました！助かりました!

回答No.2

eatern27

＞y軸周りに回転させるので、y=f(x)をxに関する関数に直してからその2乗を積分するのかなと思いきや、

y=f(x)がx=g(y)と直せたとすれば、
π∫[y:0→√3/9]g(y)^2dy
を計算するのだと思った、という事でしょうか？

だとすれば、その考えで間違いありませんし、その「模範解答」もそのような考えで解いています。

π∫[y:0→√3/9]g(y)^2dy
にx=g(y)を代入(置換)したものが、
＞　　　　体積＝π∫0から√3/9 (x2) dy
＞　　　　体積＝π∫0から1 (x2)・f′（x）dx
の部分です。

お礼

早い回答ありがとうございます！ただ私の質問の仕方が悪かったです。ですが、回答者さんの回答を読んで、自分の質問を次のように簡潔に示すことができました。g(x)=ｘ？ということです。でも直せそうにないっぽいです。私の考え方が何か根本的に違ってるのかもしれません(×　×)

回答No.1

info22

＞ y＝f(x)(0≦x≦1)の表す曲線と直線およびｙ軸とで囲まれた部分

直線の式が書いてありませんので囲まれた部分が分かりません。

y軸の周りの回転体の体積Vの積分表現は2通りあります。

１）y座標を最初、固定して高さyにおける回転体の水平s切断面の面積S(y)に微小な厚さdyを掛けてそれ（S(y)dy）を回転体の高さ方向に加えて体積を求める方法
V=∫[y1→y2] S(y)dy
S(y)=πx^2, y=x^2/(x^4 + 2)^(3/2)
y1=0,y2=√3/9

2)x座標を最初固定して半径xの回転体の円筒状の切断面の面積S(x)=2πxh(x)に微小な厚みdxを掛けてた回転体円筒体積S(x)を回転体半径方向に加えて体積を求める方法
V=∫[x1→x2]S(x)dx
S(x)=2πxh(x),h(x)=√3/9-y,y=x^2/(x^4 + 2)^(3/2)
x1=0,x1=1

質問者さんの方法は1)の方法ですね。
＞いきなりxの２乗をyで積分する式で、どうしてxの2乗なのかがわかりません。　
y軸の周りの回転体の高さyでの水平切断面の面積S(y)は
半径xの2乗にπを掛けた円盤（円の内部）の面積ですから
S(y)=πx^2
になる訳です。
yは積分変数で,yとxは関数関係
y=x^2/(x^4 + 2)^(3/2)
にあり、積分の被積分関数（積分核）に現れる変数と積分変数を関数関係を使って同じにしないと積分の実行が出来ません。つまり、積分変数をxに変換するか,被積分関数の変数をyの関数に変換するかどちらかをすることになります。

お礼

すみません、直線はy=√3/9です。書き漏らしてました。　回答ありがとうございます。ということは、模範解答は積分変数をxに変換する方‥ですよね?このように積分変数をxに変換して体積を求める場合は、どんなy=f(x)でも　V=π∫x^2dy　として、dy=○○dxを代入すればよいと考えていいんでしょうか…また質問で申し訳ないです。