OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

積分問題を解いて下さい。

  • すぐに回答を!
  • 質問No.191630
  • 閲覧数118
  • ありがとう数3
  • 気になる数0
  • 回答数5
  • コメント数0

お礼率 40% (2/5)

以下の問題は早急に解きたいんですが、積分の仕方を忘れてしまい、解く事ができません。部分積分すると思ったのですが…。どなたか解いて頂けませんか?
(1)∫(1-k^2sinφ^2)^(1/2) dφ   と、
(2)∫1/[(1-k^2sinφ^2)^1/2] dφ
の二問です。
よろしくお願いします。
通報する
  • 回答数5
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

また、間違いました、被積分関数をMaclauin展開してください。
ご存知と思いますが、一応公式を書いておきます。

マクローリン展開(テイラー展開)は
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/3!*x^3+...
です。

+と-を間違えていたようです。

(1+x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

x=-(ksinφ)^2を代入して、各項積分です。

もう!自信なしです。

m(__)m
お礼コメント
igi-69

お礼率 40% (2/5)

計算の細かいところまで教えて頂き、
ありがとうございました。
後は、何とか積分を頑張って近似値を出していきたいと思います。
投稿日時 - 2001-12-29 00:17:38
-PR-
-PR-

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

おはよう御座います。 級数に展開して、積分するのですが、0~1/πまでの定積分の場合、楕円積分になります。ただし、k^2<1。(1)を第2種完全楕円積分、(2)を第1種完全楕円積分です。 被積分関数の展開は、つぎの式を使うと良い。 (1+x^2)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-..... 1/(1+x^2)^1/2 ...続きを読む
おはよう御座います。
級数に展開して、積分するのですが、0~1/πまでの定積分の場合、楕円積分になります。ただし、k^2<1。(1)を第2種完全楕円積分、(2)を第1種完全楕円積分です。

被積分関数の展開は、つぎの式を使うと良い。

(1+x^2)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x^2)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

これをそれぞれ積分すると良いでしょう。
補足コメント
igi-69

お礼率 40% (2/5)

おはようございます。
確かにこの積分式は、回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。
ところで、回答頂いた式には sin^2(φ)がありませんが、使わなくてもよいのでしょうか?
投稿日時 - 2001-12-28 08:23:47

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

御免なさい、間違いました。つぎの式が正しいです。 (1-x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-..... 1/(1-x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-..... この式のxに(ksinφ)^2を代入して、各項別に積分して下さい。 上の式は1を除いて、Σを用いて書くことも出来ます。
御免なさい、間違いました。つぎの式が正しいです。

(1-x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1-x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

この式のxに(ksinφ)^2を代入して、各項別に積分して下さい。
上の式は1を除いて、Σを用いて書くことも出来ます。
  • 回答No.4
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> 回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。 回転楕円体の表面積ならこの楕円積分は k=1 の場合になりますので, 簡単な積分に帰着されます http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215 の私の回答(No.4),および Qtaro35 さん(No.3)ご紹介の http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y- ...続きを読む
> 回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。

回転楕円体の表面積ならこの楕円積分は k=1 の場合になりますので,
簡単な積分に帰着されます
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の私の回答(No.4),および Qtaro35 さん(No.3)ご紹介の
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen.htm
をご覧下さい.
一般の楕円体の表面積なら k≠1 の楕円積分が現れます.

積分範囲がφ=0 からφ=θまでのとき,楕円積分(結果は k とθの関数),
積分範囲がφ=0 からφ=π/2までのとき,完全楕円積分(結果は k の関数),
と称しています.
後者の場合を単に楕円積分という場合もあるようです.
brogie さんの
> 0~1/πまでの定積分の場合、
はミスタイプでしょう.

第1種,第2種の区別は brogie さんの書かれているとおり.
完全楕円積分でも,k=0,1 以外の場合は初等関数で表現できないことが
知られています.
補足コメント
igi-69

お礼率 40% (2/5)

実は以下のURLを参考に、一般の楕円体の公式を見て、解が知りたくて質問させて頂いたのです。
URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen.htm
その公式の中のk^2とαについては算出してあり、k^2<1と0≦α≦2となりました。積分さえできれば後は代入するだけですよね?

甘え過ぎだということは十分承知しているのですが…、積分の解を算出して頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-12-28 20:31:15
  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> 積分さえできれば後は代入するだけですよね? > 積分の解を算出して頂けないでしょうか? No.4 の回答に書きましたように, 初等関数(の組み合わせ)では楕円積分は表現できません(k=0,1 の場合を除く). もちろん,a,b,c が決まれば k とαは確定して楕円積分の値も確定, 表面積も決まります しかし,その楕円積分の値とk,αの関数関係が初等関数の組み合わせでは ...続きを読む
> 積分さえできれば後は代入するだけですよね?
> 積分の解を算出して頂けないでしょうか?

No.4 の回答に書きましたように,
初等関数(の組み合わせ)では楕円積分は表現できません(k=0,1 の場合を除く).
もちろん,a,b,c が決まれば k とαは確定して楕円積分の値も確定,
表面積も決まります
しかし,その楕円積分の値とk,αの関数関係が初等関数の組み合わせでは
表現できないと言うことなのです.

なお,0≦α≦2 と書かれていますが
a≧b≧c で α=sin^{-1}√(1-c^2/a^2) ですから
0≦α≦π/2 ですね.
ミスプリかも知れませんが,念のため.
お礼コメント
igi-69

お礼率 40% (2/5)

ありがとうございました。
よく理解できていませんでした。
近似値は得られるということですよね?
何とか積分頑張ってみます。
投稿日時 - 2001-12-29 00:14:10
このQ&Aで解決しましたか?
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ