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大学入試問題なのですが、、、、
平面上で、点(2,0)を通り傾きmの直線が、円x^2+y^2=3と異なる二点P(α,p),Q(β,q)で交わるとき、次の問いに答えよ。 (1)mの取りうる範囲 (2)α+β、αβをそれぞれmを用いて表せ (3)ベクトルOPとベクトルOQの内積をmを用いて表せ (4)ベクトルOPとベクトルOQが垂直となるようにmの値を定めよ という問題なのですが、 (1)は原点と y=mx-2mとの距離が三以下の式ででますよね (2)はy=mx-2mとx^2+y^2=3を連立してyを削除し 解と係数の関係ででますよね。 ここまでは、わかるのですが、(3)の内積が、ベクトルOPとベクトルOQは長さが3なので 3×3×cosΘの式で攻めると思うのですがcosΘのをmを使って表す表し方が思いつきません、教えてください m(._.)m ペコッ (4)は(3)を=0ですよね??
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再び。(笑) 角度の問題を(4)で解くがために、(3)は成分から攻めるわけです。 (2)はそのための伏線ってなわけで。長さ(成分)と角度の媒介という意味では大事な攻め方と思われます。 いや、どーしても成分を用いずにcosθを求めたいというなれば、PQ^2を2点間の距離で求めて余弦定理という手もあるでしょうが、ごりごり計算しすぎでうまくないですぜ。たぶんこれをしようとされて断念されたのではなかろうか。。。 あっ、ちなみにpq=m(α-2)*m(β-2)とすれば、新たに解と係数の関係を作る必要ないですわ。^^;
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- kony0
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内積の値はαβ+pqとなるので、αβは上述(2)より求められ、 pqに関しても、(2)と同様のやり方で、xを消去し、yの2次方程式でも作ってあげればできそうです。。。 ってのはどうでしょうか? #ちなみに、ベクトルの長さは√3ですぜ。
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