- ベストアンサー
因数分解のポイントは?
(問題) x^4-7x^2y^2+y^4を因数分解しなさい。 答えは (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2) どこに着目して、因数分解を行えばよろしいのでしょうか?解り易い因数分解の方法があれば、教えてください。
- fukurou-05
- お礼率50% (55/109)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
あけましておめでとうございます。 この場合は、先頭のx^4と最後のy^4をみて(x^2+y^2)^2の展開式を 考えます。この展開式は、x^4+2x^2y^2+y^4になるので、 x^4-7x^2y^2+y^4 ※項の順を変えながら、2x^2y^2を加えて、引いてを同時にすると =x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2y^2-7x^2y^2 ※前の3項は(x^2+y^2)^2と因数分解でき、後ろの2項はまとめて =(x^2+y^2)^2-9x^2y^2 ※後ろの項の9x^2y^2は(3xy)^2とできるので =(x^2+y^2)^2-(3xy)^2 と変形できます。 ここで、x^2+y^2=A,3xy=Bとおくと、この式はさらに =A^2-B^2 から =(A+B)(A-B) と因数分解できて、A,Bをそれぞれx^2+y^2、3xyに戻すと答え の式が導き出せます。
その他の回答 (1)
普通は最高次数の低い文字に注目して、それを基準に解きます。 が、この場合はxもyも最高が4次なので、xを基準にしてもyを基準にしても同じです。 それは置いといて、この場合はx^4とy^4に注目しましょう。 x^4とy^4から、 1)(x^4-2*x^2*y^2+y^4)-5*x^2*y^2 2)(x^4+2*x^2*y^2+y^4)-9*x^2*y^2 という分け方が出来ます。 ()の部分に注目すると、()^2という形に書き換えられるのはわかりますか? 1)と2)の二通りありますが、2)を見ると-9*x^2*y^2があります。 これは、-(3*x*y)^2と書けます。 つまり、2)は広く見るとa^2-b^2=(a-b)(a+b)の形である事がわかります。 よって、 (x^4+2*x^2*y^2+y^4)-9*x^2*y^2 =(x^2+y^2)^2-(3*x*y)^2 =(x^2+y^2-3*x*y)(x^2+y^2+3*x*y) です。
お礼
着目するところがわかれば、簡単なんですね♪nukeninzさんの方法をおさらいしてみたら、あっという間に解けてしまいました。私も早く“着目する目”を養いたいです。 他の問題も解けるよう頑張ってみます。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- どこまで因数分解すればいいか
青チャートに (x+y+1)^4 - (x+y)^4 を因数分解する問題があり、答えが =(2x+2y+1)(2x^2 + 2y^2 +4xy+2x+2y+1) となっているのですが =(2x+2y+1){(x+y)(2x+2y)+2x+2y+1} までは因数分解しないのですか? ほかの問題に (a+b)x^2 -2ax+a-b を因数分解して =(x-1){(a+b)x-a+b} を答えとしているものがあったので、わからなくなってしまいました。
- 締切済み
- 数学・算数
- この因数分解がわかりません・・・
高校の宿題で因数分解の問題です。 24x^2-54y^2+14x+141y-90 を因数分解してください。 途中の計算もできれば詳しくお願いします。 それと、 x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3) の因数分解を自力でがんばって (y-z)(xy^2-xyz+z^2x-x^3-y^2z-yz^2) までやったんですが、 これ以上因数分解できますか? ここまでで間違ってるいるなら正しい答えを教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解が解けない...
x²ーxyー6y²+2x+19yー15 これを因数分解したいのですが、どしてもやり方が分からないです。 どなたか教えて頂けませんか? 答えは"(x+2yー3)(xー3y+5)"です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数で表された多項式の因数分解
ある問題を計算して答えを出したところ、x^4-2x^3y-x^2y^2-2xy^3+y^4+4x^2y+4xy^2-3x^2-3y^2+1 (ただし、^は累乗を表す)となり、答えを出すことができたのですが、問題集の解答には、(x^2-3xy+y^2+x+y-1)(x^2+xy+y^2-x-y-1)のように因数分解された解答が掲載されていました。 確認したところ、両者の値は一致しており、実際問題としては、どちらで答えを記述してもよいのだとは思いますが、はじめの式を因数分解して、あとの式のように変形することは一般的には可能なのでしょうか? もしもわかられる方がいらっしゃれば、お教えいただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
あけましておめでとうございます。 今年も宜しくお願い致します!(^^)! 最初、『2x^2y^2を加えて、引いて・・・』という事を何故行うのかが解りませんでしたが、文章の前後左右を読み直し、理解致しました。 debutさんの回答は解り易いですね。 私があまりにも解らないので、とても丁寧に回答していただいているのだと感謝しております。 このところ、夜なべが続いて風邪気味です・・・。 debutさんも風邪には気をつけてください。