ラプラス変換

質問

こんにちは。
物理学のほうに質問していたんですがこちらのほうが回答が得られると思い再度質問しています。
聞きたいことはm*d^2y/dt^2=A*g^2(t)のラプラス変換です(g^2(t)はg(t)の２乗ということです）。そこでわからないのはg(t)の２乗のラプラス変換はどうなるかということです。
詳しく言うと変換するとms^2Y(s)=A*G^2(s)+BとなるとおもいますがこのBの部分がどうなるかということです。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

右辺についてだけ、一言述べさせて下さい。
一般的にｔ領域の畳み込み積はｓ領域の積に対応します。
逆に、t領域の積はｓ領域の畳み込み積に対応します。ただし、この場合には、Bromwich積分を使いますが・・・。
したがって、
Ｌ[g^2(t)]＝Ｇ(s)*Ｇ(s)となります。
この畳み込み積分は、
Ｇ(s)*Ｇ(s)＝(1/2πi)∫[δ-i∞,δ+i∞]G(ζ)G(s-ζ)dζ
となり、少し複雑ですね。証明には反転公式を使います。

もし、ｇ(t)が、べき級数で表されるならば、無理に畳み込み積を使わずに、
Ｌ[g^2(t)]＝Ｇ(-d/ds)Ｇ(s)
とすることができます。

さらに、詳しいことはご自分で調べて下さい。

回答No.5

oyaoya65

#2,#3です。
右辺に出てくるＬ[g^2(t)]についてはA#3の計算で｛g(t)^2}'=2g(t)とミスしていました。
正しくは、｛g(t)^2}'=2g(t)g'(t)となりますので
Ｌ[g^2(t)]の計算部分についてのラプラス変換は取り消してください。（したがってA#3は撤回します。）

Ｌ[g^2(t)]についてはA#4さんの回答にあるように
Ｌ[g^2(t)]=G(s)*G(s)=H(s)
とG(s)同士の畳み込みになり、一般的な関数g(t)に対してH(s)=G(s)*G(s)=L{g(t)^2}を求めることは困難です。
しかし、g(t)が既知の初等関数の場合については比較的簡単に、L{g(t)^2}を求めることは可能です。

たとえば、t^(2n),(sin wt)^(2n),(cos wt)^(2n),{e^(-at)}^2　などやこれらの線形結合,積などのラプラス変換ですね。

したがって、A#2のラプラス変換の式は

m{s^2 Y(s)-s y(0+)-y'(0)}＝G(s)*G(s)

と訂正してください。

回答No.3

oyaoya65

#2です。

＞G(s)ですがG^2(s)という形がでてこないんでしょうか？
＞＞ラプラス変換の定義と部分積分法を復習してみてください。
↑これを確認しましたか？
この通りにすれば明らかですが？
↓
L{g(t)^2}=∫[0->∞]{g(t)^2}e^(-st)dt
＝[g(t)^2 (-1/s)e^(-st)][0,∞]+1/s∫[0->∞]{g(t)^2}'e^(-st)dt
＝g(0)^2 (1/s)+1/s∫[0->∞]{2g(t)}e^(-st)dt
＝(1/s){2G(s)+g(0)^2}

回答No.2

oyaoya65

m*d^2y/dt^2=A*g^2(t)
は微分方程式ですから、時間領域で解くにしても初期値が必要なことはお分かりですね。
→y(0+),y'(0+),g(0+)

微分方程式を積分するとこれらの初期値が入ってきます。

質問の微分方程式のラプラス変換は
すべての初期値がゼロでないかぎり
ms^2Y(s)=A*G^2(s)+B
とはなりませんよ。
ラプラス変換の定義と部分積分法を復習してみてください。

正しくは次のようになります。

m{s^2 Y(s)-s y(0+)-y'(0)}＝(A/s){2G(s)+g(0)^2}

補足

回答ありがとうございます。
一つわからないところがありまして最後の式の左辺はわかるんですが、右辺がですね、なぜA/sになるのでしょうか？またG(s)ですがG^2(s)という形がでてこないんでしょうか？

回答No.1

tatsumi01

ラプラス変換は忘れてしまいましたが、関数の積のラプラス変換を表す式はなかったんじゃないでしょうか。２乗も自分自身との積ですね。
畳み込みのラプラス変換なら、ラプラス変換の積ですが。