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ふとした疑問があります（総合的な問題）
単位円に内接するＮ角形があります その図形のそれぞれの角に中心から補助線を 引いてＮ個の三角形に分けそれぞれの面積を 合計します。 上の合計をＮを使って表したいのです －疑問１ そしてその式を lim Ｎを使って表した式 n→∞ とするとその値はπになると思ったのですが なぜかなりません －疑問２ これはＮで表す過程で間違ったのでしょうか それとも疑問２の考えかたそのものが間違って いるのでしょうか？ 下記は私が途中まで考えてだしたＮをつかった式です。 補助線をひいて作った三角形の底辺は ２sin１８０／Ｎ －１ 補助線をひいて作った三角形の高さ cos１８０／Ｎ －２ これらを合計すると １×２×１／２×Ｎ（個数）＝ sin１８０／Ｎ・cos１８０／Ｎ・Ｎ＝ Ｎ／２sin３６０／Ｎ 以下ギブアップです
- y-syun00
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まず、limをとるんだから、角度の単位はdegreeではなく、radianで表記すべきです。 よって、S=(N/2)*sin(2π/N) あとは2π/N=θとおいて、nagataさんのおっしゃる式を用いればOKでしょう。 ちなみにその式の左辺は、f(x)=sinxとおいたときの、lim_{θ→0} {f(θ)-f(0)}/(θ-0)なので、微分の定義よりこれは{ f'(θ)|θ=0 } = cos0 = 1となります。
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- sumou111
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N個の三角形を2個の直角三角形に分け、合計2N個の直角三角形を作る。 2N個の直角三角形の各々の中心角はπ/N。 直角三角形の底辺の長さはcos(π/N)、高さはsin(π/N)。 直角三角形の面積は2N×cos(π/N)×sin(π/N)×1/2 = {N×sin(2π/N)}/2。 ↓ lim {N×sin(2π/N)}/2 N→∞ = lim {sin(2π/N)/(2π/N)} N→∞ = lim (1/π) N→∞ = lim π N→0 = π 途中計算は自分で取り組んでください。
- nagata
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lim sinθ/θ=1を使えば良いのではないでしょうか。 θ→0 後はN＝2π/θと置くとうまく行きます。 上の式が何で成り立つかは忘れました。ごめんなさい。
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