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順列と組合せの区別

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  • 質問No.178507
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お礼率 81% (53/65)

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各1人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)15人の生徒の中から4人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 46% (14/30)

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト6で考えてみましょう。ロト6は42個の数字から任意の6個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
32、27、17、15、3、22
でも、いまのロト6の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
3、15、17、22、27、32
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、32と27が入れ代わりになっても、当選くじには影響しません。
こういった、順序が結果に影響しない場合は、組み合わせで42C6となります。

でも、引いた順序が結果に影響する場合はどうでしょうか?
ナンバーズや、普通の宝くじがこれにあたります。
引く順番を、千の位、百の位、十の位、一の位と抽選する場合、たとえば
6328
ならば、もし千の位の6と百の位の3の順序が逆ならば、3628となり
全く別の数字になってしまいます。こう言った場合は順列で各位は10P1
となり、4桁ならば10P1の4乗となります。
質問の例では、「兼任を認めない」とあるので、
例えば、太郎君が図書委員、花子さんが体育委員になった場合と、その逆では
結果が異なります。選挙は、兼任を認めていないので、選挙は同時ではなく、
図書、体育、広報と、順序だてて行われます。太郎君が一番目の選挙で選ばれるのは図書委員、
二番目で選ばれたら体育委員、選ばれる順序によって結果はかわります。
つまり順序が影響するので順列の計算になります。

15人の生徒から学習係を4人選ぶ場合、太郎君が一番目に選ばれ、花子さんが二番目に選ばれるのと
その逆、花子さんが一番目、太郎君が2番目に選ばれるのは、同じ結果になります。
つまり、順序が影響しないので、組み合わせの計算になります。

適切な説明がうまくできなくてすみません。
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

ものすごくご丁寧に誠に感謝します。
しかも、身近なことを取り上げて下さったので、分かりやすかったです。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:19:36
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1

簡単に言えば、 (1)のように、それぞれ区別する場合はP、 (2)のように、選ぶときに区別しない場合はCを使います。 もうちょっと詳しく言うと、 異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr 異なるn個のものからr個とる(1列に並べない)→組み合わせnCr う~ん、実際に具体的な問題が有れば説明できるのですが… ...続きを読む
簡単に言えば、
(1)のように、それぞれ区別する場合はP、
(2)のように、選ぶときに区別しない場合はCを使います。

もうちょっと詳しく言うと、
異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr
異なるn個のものからr個とる(1列に並べない)→組み合わせnCr

う~ん、実際に具体的な問題が有れば説明できるのですが…
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

私は基本的なことから分かってませんでした。
皆さんの回答から理解する事ができました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:16:56

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 33% (1403/4213)

> 区別する方法を教えてください。お願いします。 「P」はPosition(位置)のP、CはConbination(組み合わせ)のC。 (1)のパターンは「兼任なし」なので「選ばれた人はxx委員」と決まる。 (2)のパターンなら「誰でも良いからとにかく4人」 なのでは? ...続きを読む
> 区別する方法を教えてください。お願いします。

「P」はPosition(位置)のP、CはConbination(組み合わせ)のC。

(1)のパターンは「兼任なし」なので「選ばれた人はxx委員」と決まる。
(2)のパターンなら「誰でも良いからとにかく4人」

なのでは?
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

アドバイス頂きありがとうございました。
問題があった時にすぐ区別できるようにしたいです。
投稿日時 - 2001-12-04 14:22:11
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 9% (2/21)

その、15人を、A~Oさんとします。 (ThisIsAPenさんの言葉をお借りします) 異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が(この順に)もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。 また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。 このように、選ば ...続きを読む
その、15人を、A~Oさんとします。
(ThisIsAPenさんの言葉をお借りします)
異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr
すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が(この順に)もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
このように、選ばれた順番によって、誰が何委員になるかが変わってくるんです。だから、選んだものの並び方までかかわってくるんです。よって、nPr。
異なるn個のものからr個とる(1列に並べない)→組み合わせnCr
すなわち、A、B、H、Kさんが(この順に)選ばれたとします。この四人は、みんな学習委員になりますね。
でも、B、H、K、Aさんの順番にえらばれたとしても、みんな学習委員になりますね。だから、選んだものの順番は関係ないんです。
別の見方をすると、ABHK,ABKH,BAHK、BAKH,KHBA,KHAB,HKAB、、、、、、というふうに、(1)の問題では、別と考えられてたものが、(2)の問題では同じ物(1通り)と考えられてしまいます。だから、nPrでは困るんです。
nCr=nPr/r!(自信がありませんが・・・・)ですよね。
だから、nPrから、そのかぶってる物を1とおりと考えるために、多い分を割ってやるんです。
nPrより、nCrの方が、数が小さくなってるはずです。

わかりにくかったかもしれませんが、参考になれば幸いです。
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

>わかりにくかったかもしれませんが
いや、とんでもないですよ。このように説明をしただけると分かりやすいです。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:26:41
  • 回答No.5

Pは英語で順列を表す Permutation の頭文字です。 難しくいっても分からないと思いますので。 (1) 5人を「ただ」選ぶ(区別をつけない)のとき、C   つまり、5人のコンビ(みんな同じ・・優劣がついて  いない) (2) 5人を選び、順番「いろんな意味での優劣をつける」  のとき、P 質問の例では大丈夫!ということなので 区別が難しい問題の例でもあれば・・・ ...続きを読む
Pは英語で順列を表す Permutation の頭文字です。
難しくいっても分からないと思いますので。
(1) 5人を「ただ」選ぶ(区別をつけない)のとき、C
  つまり、5人のコンビ(みんな同じ・・優劣がついて  いない)
(2) 5人を選び、順番「いろんな意味での優劣をつける」  のとき、P

質問の例では大丈夫!ということなので
区別が難しい問題の例でもあれば・・・
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

本日、テストでした。皆さんのアドバイスを参考にさせて頂いたので(もちろん、namimanaさんのアドバイスもです。)いい結果を期待したいと思います。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:29:31
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