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数列の問題です

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お礼率 71% (57/80)

期末テストが近いので勉強していたのですが…
   n
S= Σ k・2^k-1
   k=1
の解法よくわかりません。皆様よろしくお願いします。
答えは (n-1)2^n +1 です
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回答 (全1件)

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レベル7

ベストアンサー率 25% (3/12)

 教科書に載ってません?これ。ポイントは“公比をかけて、ズラして引け”って奴ですか。これって良く出てくるので今回の試験をついでに覚えちゃいましょうね。応用範囲広いし。  等比数列の和の導き方覚えてますか?例えばan=3^nの第n項までの和。和をSとして  S=3+3*3+3*3*3+・・・+3^n 3S=  3*3+3*3*3+3*3*3*3+・・・+3^n+3^(n+1)  両辺引い ...続きを読む
 教科書に載ってません?これ。ポイントは“公比をかけて、ズラして引け”って奴ですか。これって良く出てくるので今回の試験をついでに覚えちゃいましょうね。応用範囲広いし。

 等比数列の和の導き方覚えてますか?例えばan=3^nの第n項までの和。和をSとして

 S=3+3*3+3*3*3+・・・+3^n
3S=  3*3+3*3*3+3*3*3*3+・・・+3^n+3^(n+1)

 両辺引いて
 
 -2S=3-3^(n+1) ⇔S=2*3^(n+1)-6  ですね。教科書に載ってると思います。

 で、問題ですが同様にやります。和をSと置いて
  
  S=(1*2+2*4+3*8+・・・+n*2^n)-1 (・・・A)

 公比(=2)をかけて

 2S=    1*4+2*8+3*16+・・・+(n-1)*2^n+n*2^(n+1) -2 (・・・B)

 A-Bで

 -S=2+4+8+16+・・・+2^n-n*2^(n+1)+1
   
   =2^(n+1)-2-n*2^(n+1)+1  (∵等比数列の和の公式)
   
   =(1-n)2^(n+1)-1

 ∴ S=(n-1)2^(n-1)+1  (答)


  まぁ、知っていればごく簡単に解ける問題ですし、先に言ったように出題率・応用範囲広いですから、これを機にますたーしちゃいましょぉ。
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

ご丁寧にありがとうございました。
なるほど公比をかけるんですか。
よくわかりました。頭のもやもやがやっと晴れたような気がします。
投稿日時 - 2001-11-29 23:32:55

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