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2次関数
どうしても分からない問題があるので教えください; 「f(x)=x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1(aは定数)がある。 -1≦x≦3におけるf(x)の最大値をM、最小値をmとする」 (1)y=f(x)のグラフの頂点を求めよ (2)Mをaを用いて表せ (3)a>0のとき、M - 4m =0となるようなaの値を求めよ という問題なのですが、全部分かりません; (1)は平方完成すればいいんですよね? y={x^2 - (a+1)x + (a^2 + 2a + 1)/4}-(a^2 + 2a + 1)/4 + a^2 + a - 1とすればいいのでしょうか? (2)は場合分けして考えるんですか? (3)は全く分かりません; ご面倒でしょうが、よろしくおねがいします。
- sas219love
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No1です。 <場合分けについて> この問題のように、xの範囲が決定していて、頂点が移動できる放物線 において最大・最小を考える場合は、その範囲内でのグラフの形で 場合分けし、判断していきます。 これを問題について考えてみましょう。ご存知のように、放物線は 軸について対称ですから、グラフの頂点が-1≦x≦3のちょうど中央、 つまり、x=1のところにある場合、この範囲内における最大値はf(-1) とf(3)で値が等しくなり(グラフの左端と右端が同じ高さ)ます。 頂点がx=1よりちょっとでも左にずれれば、最大値はf(3)だけになり (グラフの右端の方が高い)、頂点がx=1よりちょっとでも右にずれれ ば、最大値はf(-1)だけになり(グラフの左端の方が高い)ます。つま り、範囲の中央を境にして最大値が変わるわけです。 したがって、場合分けはこのx=1を境にして考えることになります。 1.頂点のx座標が1より小さいとき→(a+1)/2<1つまり a <1のとき 最大値はf(3) 2.頂点のx座標が1以上のとき→1≦(a+1)/2つまり1≦ a のとき 最大値はf(-1) と2通りに分けられます。 なお、最小値もからんでくる場合は、No1で示したような4通りになり ます。こちらも考えてみてください。
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- endlessriver
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#4です。わたしの計算によると A=f(-1)=(a+1)^2=a^2+2a+1, B=f(3)=a^2-2a+5 となります。 頂点が(-1,3)の間にあれば m=f( (a+1)/2 )=(3a^2+2a-5)/4 これからA-4m=0とB-4m=0を解けばよいのですが、これらはaの2次方程式になります。あとはその根を求めればよいです。すなわち、a=(数値)となります。この(数値)が >0 であるものを取れば良いのです。
お礼
2度もすみません;ありがとうございました!!
- endlessriver
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(2)最大値はx=-1かx=3のいずれかです。したがって、このときの値の差の正負を調べればよい。何故そうなるかは他の方のように頂点のX座標がx≦-1、-1<x<3、x≧3にわけて議論すればよいです。 (3)これはa>0だから頂点の座標(a+1)/2>1/2となり、場合分けは少なくなりますね。 Aをx=-1のときの値、Bをx=3のときの値とする。 a)頂点が(-1,3)の中にあればAかBが最大値になるからA-4m=0, B-4m=0を計算してa>0を満たすものをとればよい(解は双方にあるようです。当然、x=1で左右対称ですから)。 b)a>0より、頂点のx座標>1/2だから、残りは頂点のx座標が≧3のときなので、m=Bとなり、A-4B=0 を計算すればよいです。がこれは解ではないようです。
お礼
ありがとうございました! (3)、とても分かりやすいです!
補足
あの、(3)は(a)のとき、A-4m=0 B-4m=0 a^2-1-4m=0 a^2-2a+5 となりますよね? ここからどうやってa>0を判断すればよいのでしょうか?
- kouhukudou
- ベストアンサー率40% (17/42)
f(x)=x^2-(a+1)x+a^2+a-1(aは定数) f(x)={x-(a+1)/2}^2-(a^2+2a+1)/4+a^2+a-1 ={x-(a+1)/2}^2+(3a^2+2a-5)/4 ←平方完成するとこの式になります。 この式からこの二次関数の頂点は((a+1)/2,(3a^2+2a-5)/4)であると分かります。 これで(1)の答えが分かりました。 (2)ではおっしゃるように場合わけが必要です。 ヒント:二次関数は「∪」こんな形をしていますね。だから、-1≦x≦3の範囲での最大値を求めようとすると、頂点のx座標が2より小さいときはx=3のとき、2のときはx=-1およびx=3のとき、2より大きいときはX=-1のときになるからです。 それぞれの場合についてf(x)に代入して値を求めます。 すみません、眠くなったので、今日はこのへんで・・・。 明日起きてからまだ解決していなければまた書き込みますね。 上記回答で分からないところがあれば、補足でもう一度質問してください。 寝ぼけているので計算ミスなどがあったらごめんなさい(-.-)ではおやすみなさい。
補足
ありがとうございました! まだ場合分けがよく理解できません;
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
No1です。 すみません。訂正。最大値Mだけだから、場合分けは 頂点のx座標が1より大きいか、小さいかだけでした。 (2)に書いたのは、最小値も考えたときでした。 すみません。
お礼
ありがとうございました! 場合分けのところがまだよく分かりません;
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
(1)はその通りです。 (2)(1)で求まった頂点のx座標が、 1.-1より小さいとき 2.-1以上1より小さいとき 3.1以上3より小さいとき 4.3以上のとき と4通りの場合分けをします。 それぞれでグラフをかきましょう。 (3)(2)からa>0のところだけで場合わけして考え、mもaで表し て代入すれば求まるでしょう。(各場合でaの範囲に注意)
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