対数について

質問

対数の根本の意味をあまりよく知りません。
常用対数は底を１０として扱い膨大な数を簡単に計算できるということで便利だと思うんですが、自然対数はどうなんでしょうか。
対数を微積分するためにあると良いんだという事を聞いたことはあるんですが、すっきりしません。対数の微積分を考えるのに底が１０の自然対数では不自由なことが起きるのでしょうか？
また、e ≒ 2.7182818284　5904523536　0287471352…
ということですが、なぜでしょうか。
アドバイスお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

最初に使われ始めたのは常用対数だったとか聞きます
これは普段私たちが10進数を使っているので、『常用対数を取る≒大きな数の桁数を知る』、というようなイメージで使いやすいですよね

では数学では何故自然対数をよく用いるかというと、それはご指摘の通り微積分の性質がいいからです

まず積分から考えると
　∫[1→x]{1/t}dt=ln(x)　(ln(x)は底がeの対数)
が成り立ちます
1/xのグラフを描いて、x=1より右の面積が自然対数で表されるのです
このことが知られる以前は、x^nを積分しようとしたときn=-1のとき(つまり1/xの不定積分)は謎だったようです
なぜなら、公式
　∫{x^n}dx = {x^(n+1)}/(n+1)
にn=-1を代入することは出来ませんから

では積分すると常用対数(log(x))になる関数はなにかというと、まずlog(x)を微分してみて
　(log(x))' = 1/(x*ln(10)) = 1/(x*2.30258...)
　∫{1/(x*2.30258...)}dx = log(x)+C
となります1/(x*2.30258...)なんて関数普通使いませんよね

今度は微分の見方から
(ln(x))'=1/xがスッキリした式であるのすぐにわかるとして
対数微分法の事を考えてみましょう
y=x^{sin(x)}を微分するときなどに使うのですが
　y=f(x)
両辺自然対数取って
　ln(y)=ln(f(x))
両辺xで微分して
　y'/y=(ln(f(x)))'
　y'=y*(ln(f(x)))'
これは例題があればわかりやすいのですが
自然対数を使うとスッキリと計算でき、常用対数を使うと無駄な係数が付きややこしくなります

このように微積分において自然対数はとても性質がいいのでよく使われるのです
もっと言うと、関数を考える上で微分しやすい、積分しやすいというのはとても良い性質なのです

ではe≒2.718281828...がどこから出てきたのかというと
まず最初に知られたのは数列{A[n]}
　A[n]=(1+1/n)^n
が収束するということだそうです
これは1^∞型の不定形なので、1か∞に収束するかと思うと
じつは2と3の間あたりに収束するらしいのです
これがつまりeで
　e=lim[n→∞]{(1+1/n)^n}
が成り立ちます
このlim[n→∞]{(1+1/n)^n}
は自然対数でも常用対数でも、とにかく対数を積分しようとするときに登場します
なので対数の積分にはeがつきものになります

他にも
　e=Σ[n=0～∞]{1/n!}
などもありますが、これを具体的に計算すると
　e≒2.718281828...
になります

自然対数やeが便利であることは、微積分を勉強していけば解ってきます、それと同時にeがとても不思議な数であることも解ってきます
気になるようならば調べてみても面白いと思いますよ

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。よくわかりました。
eって不思議ですね☆

回答No.1

kabaokaba

e^x の微分は e^x です
また，自然対数log(x)の微分は 1/x です

つまり、自然対数を考えなければ
反比例のような関数すら積分できません
また，自然現象を記述するのに
自然対数の底は必須です．
有名なのは元素の半減期でしょうか

もちろん、底の変換公式を使えば
常用対数でも表現できますが，いちいち係数がつくので
とても繁雑になります．
これは三角関数で
度数ではなくラジアンを使うのと同様ですね

eの値そのものには特別な意味はあまりありません
eのもつ性質の方が重要です

お礼

常用対数でもできることはできるんですか。なるほど。
わかりやすいアドバイスありがとうございました。