離心率の求め方
- 離心率の求め方とは、楕円や双曲線の性質を表す指標であり、一般的な方程式を用いて計算することができます。
- 楕円の場合、離心率は、円の中心から楕円の焦点までの距離を楕円の長軸の長さで割った値になります。
- 双曲線の場合、離心率は、円の中心から双曲線の焦点までの距離を双曲線の長軸の長さで割った値になります。
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離心率の求め方。
だ円ｘ＾２/ａ＾２＋ｙ＾２/ｂ＾２＝１（ａ＞ｂ＞０）上の任意の点をＰとする。Ｐから定点Ｆ（ｃ、０）までの距離ＰＦと、Ｐから定直線ｘ＝ｄへの距離ＰＱが、常にＰＦ：ＰＱ＝e：１をみたすという。（e>0),c,dをa,bを用いて表せ。 尚、双曲線ｘ＾２/ａ＾２ －ｙ＾２/ｂ＾２＝１についても同様に求めよ。 まず、だ円の回答⇔ ＰＦ＾２＝（ｘ－ｃ）＾２＋ｙ＾２ ＰＱ＝｜ｄ－ｘ｜ これとＰＦ＾２＝ｅ＾２ＰＱ＾２とから （ｘ－ｃ）＾２＋ｙ＾２＝ｅ＾２（ｄ－ｘ）＾２ (1) Ｐ（ｘ、ｙ）はだ円上の点であるから ｘ＾２/ａ＾２ ＋ ｙ＾２/ｂ＾２ ＝ １ ∴ｙ＾２＝ｂ＾２－（ｂ＾２/ａ＾２）ｘ＾２これを(1)に代入してから、こうべきの順に整理すると （a＾２－ｂ＾２－ａ＾２ｃ＾２）ｘ＾２ー２ａ＾２（ｃ－ｅ＾２ｄ）ｘ＋ａ＾２（ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２）＝０ ☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである 全ての実数ｘについて成り立つので ａ＾２－ｂ＾２ーａ＾２ｅ＾２＝０ ｃ－ｅ＾２ｄ＝０ ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２＝０ これからｅ（＞０）とｃ、ｄを求めて ｅ＝√（a＾2-b＾2)/a, C=±√(a＾2-b＾2), ｄ＝±a＾2/√(a＾2-b＾2) （複合同順） 以上で求まるのですけど、双曲線のもとまりません ＞＿＜同じようにやって解いていくと思うのですけど、 だ円の時ちがい、今回は双曲線なんで、符号がマイナスに変わったｘ＾２/ａ＾２ ー ｙ＾２ /ｂ＾２ ＝１です。これを変形しても、-a>x a<xとなると思うので だ円の時に用いた☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである全ての実数ｘについて成り立つのでというのが使えないので、どうしたらよいのか解りません。 双曲線の方はどのように求めればよいのでしょうか？ 誰か教えてください！！！
- nana070707
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確かに、 ＞例えば、ｘ＾２－２ｘ＋４＞０の時とかのグラフを書いたら、放物線が ＞ｘ軸より浮いていて、ｘ軸横全て、正になる事がわかるので、ｘは全て ＞の実数に成り立つと学びました。また、例えば、－ｘ＾２＋ｘ＋２＜０ ＞だったら、－（ｘ－1/2)＾2＋9/4となって、不等式の範囲はー１＞ｘ、 ＞２＜ｘみたいになりました。 は、ｘの２次式、例えば ｘ^2－２ｘ＋４ が正になるのはｘがどんな 範囲にあるときか？ときかれれば「ｘはすべての実数である」と答えます が、今回のｘの２次式は不等式ではありません。ご質問の際に最後の方に 出てきたｘについての長い式があるでしょう。あれは、だ円が存在する 範囲のｘについては成り立つ式です、ということです。なぜなら、この場 合のｘはだ円上の点Ｐのｘ座標ですから。つまり、ｘの範囲は、だ円とｘ 軸との交点のｘ座標である－ａからａまでで考えている、ということです。 だから、あのｘについての長い式は、ｘが－ａからａの間ならばその間に だ円のグラフが存在するから、ｘにどんな実数を入れても＝０になると いうことです。 たぶん数Iかなんかでやったと思いますが、ｘについての２次式（ここでは ２次式に限ってみますが・・）があってそれがすべてのｘについて成り立 つ場合、その式を恒等式といって、 Ａｘ^2＋Ｂｘ＋Ｃ＝０ ならば Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝０ である というようにやりましたよね？ その考えを、今回の場合は、ｘを－ａからａに限って使ったわけです。 もし、ｘの範囲が限定されていなければ、ｘがすべての実数について成り 立つから・・・は言えなくなります。 わかったでしょうか？不明な点があればどうぞ。
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- debut
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だ円のときと同じようにやります。 ＞☆これが、－ａ≦ｘ≦ａである ＞全ての実数ｘについて成り立つので ＞ａ＾２－ｂ＾２ーａ＾２ｅ＾２＝０ ＞ｃ－ｅ＾２ｄ＝０ ＞ｃ＾２＋ｂ＾２－ｅ＾２ｄ＾２＝０ とした理由を考えてみてください。最後に出てきたｘの２次方程式が、 「－ａ≦ｘ≦ａにおいてはｘにどんな実数を入れても成り立つ、つまり ｘについての恒等式になるから、各項の係数＝０とできる」としたわけ ですよね。 だから、双曲線の場合も、ｘ≦－ａ，ａ≦ｘにおいては、双曲線の式に 関して出てきた方程式 (a^2+b^2-a^2e^2)x^2-2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2-b^2-e^2d^2)=0 がｘについての恒等式になるので、各項の係数＝０として求められます。 解答では、同じようにして、「これがｘ≦－ａ，ａ≦ｘのすべての実数に ついて成り立つので・・・」とすればいいです。
補足
どうしてなのか、理由がわかりません＞＿＜ なぜ、－a≦ｘ≦ｘに置いてはｘにどんな実数を入れても、成り立つのか解りません。 なので、各項の係数＝０と二次方程式が３つ出てきたのにスゴク驚いていて、私なりに二次方程式を昔学んだ時に、不等式のところで、例えば、ｘ＾２－２ｘ＋４＞０の時とかのグラフを書いたら、放物線がｘ軸より浮いていて、ｘ軸横全て、正になる事がわかるので、ｘは全ての実数に成り立つと学びました。また、例えば、－ｘ＾２＋ｘ＋２＜０だったら、－（ｘ－1/2)＾2＋9/4となって、不等式の範囲はー１＞ｘ、２＜ｘみたいになりました。つまり、これがｙが負になる範囲なんですけど、 今回のも、ーa≦ｘ≦aという範囲を得たのは正になる範囲だと思うのですけど、どうして、三つの係数の部分を抜き出して、二次方程式＝０とできるのですか？？？ それか、ｘにどんな実数を入れても成り立つという意味が、何に対して成り立つのか意味が解ってないと思います＞＿＜ ごめんなさい＞＿＜
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