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アステロイドの面積の出し方を教えて下さい

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積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか?
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レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0)
の囲む面積Sならば
   S=4∫(0からaまで)ydx  だから
   x=a(cost)^3で置換すると
   dx=-3a(cost)^2・sintdt
S=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt
=12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt
=12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt
=12a^2(I(4)―I(6))
   I(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると
   I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
   I(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分)
   I(4)=3π/16,I(6)=5π/32
S=(3πa^2)/8            (終)
 
 
 

    
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