小学生の知識で解けるのか？

質問

昨日(11/11）の読売新聞の社会面で、国私立中高入試について学習指導要領の範囲外と見なされる「難問」の改善通知を見送ったという記事があり、範囲外の問題例で以下の問題が載ってました。私立中学入試問題で、範囲外の理由は「円錐の体積の求め方」だったと思います。
私の疑問（皆さんに回答いただきたいこと）は、円錐の体積の求め方は分かっているとして、小学生レベルで本当に解けるのかということです。
よろしくお願いします。

【問題内容】
図形の問題ですので、図を書いてみてください。
ADとBCが平行である台形ABCDにおいて、∠ABC＝∠BAD＝90゜とします。
BC上のある点Pから垂線をひき、辺CDと交わる点をQとします。
また、辺AD上のある点をRとします。
ここで、AB,AR,BP,PC,PQの長さが与えられています。（どこの辺の長さが与えられていたか、の点の記憶があいまいです。）
このとき五角形BPQDRをABを軸に１回転してできる立体の体積を求めなさいというものです。
（記号は説明のためのもので、問題にはありません。また、記憶で書いてますので一部間違っている可能性もありますことをご了承ください。）
※読売新聞を購読されている方、問題内容を補足頂けると有りがたいです。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

三平方の定理など使わなくて良い。与えてある長さの数値にきちんと配慮がなされていれば、できないほどの問題とは思えません。でも小学生にとってはなかなか手間の掛かる難問ではありますね。

((1)五角形BPQDRのABを軸とする回転体)
= ((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体) - ((3)三角形ABRのABを軸とする回転体)
を求めればよい。(3)は円錐の体積ですから簡単。

((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体)
を求めるには補助線が必要です。QからABに降ろした垂線の足をSとしましょう。
((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体)=((4)長方形BPQSのABを軸とする回転体)+((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)
BSの長さはPQと等しいから、(4)の円柱の体積は簡単に求められます。

((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)
を求めるにはさらに補助点がひとつ必要です。すなわち、辺BAと辺CDの延長線の交点Eです。
((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)=((6)三角形ESQのABを軸とする回転体)-((7)三角形EADのABを軸とする回転体)
EAの長さ。ここが、「指導要領からはみ出す」と指摘されうる部分ではないでしょうか。簡単な一次方程式になるからです。
しかし、(AB),(AD),(BC)がキリの良い数値であれば、目視によって(EA)を直感できる。たとえばAD = 1cm, BC = 2 cm だったら、(AB)=(EA)は自明です。それに、たとえ半端な長さが与えられても、比の概念がしっかり分かっていれば解ける筈です。

かくて、円錐(6)、(7)の体積も計算できます。

お礼

大変詳しい解説ありがとうございました。よく分かりました。
でも、本当に手間がかかりそうですね。こんな問題を解かないといけないとは、今の小学生は大変ですね。

問題の詳細が分かりましたので、この場をお借りして示したいと思います。（記憶違いがあり、図形の形を間違えていた部分もありました。でも、教えていただいた方針で解けるものと思います。）

【正しい問題内容】
ADとBCが平行である台形ABCDにおいて、∠ABC＝∠BAD＝90゜とします。
BC上のある点PからBCに垂直となるように線をひき、辺CDと交わる点をQとします。
ここで、AB=6cm,BP=5cm,PC=1cm,DA=2cm　です。
このとき四角形BPQDをABを軸に１回転してできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円周率は3.14としなさい。

【答え】 276.32立方cm だそうです。