行列の消去法（大学受験）

質問

現在、「行列」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
連立一次方程式
kx + y = 1 + k^2
x - ky = 1 + k^2
を消去法でとけです。

解答は、
１． 第一行と第二行をいれかえる
２． 第一行のーk倍を第二行に加える
３． 第二行を1+k^2で割る
４． 第二行のk倍を第一行に加える
答え、x=1+k, y=1-k
です。

私は、この消去法というのがよくわかりません。
・ある行に0でない定数をかける
・ある行に他の行の何倍かを加える
・２つの行を入れ換える
の三つの操作を行について行う、とあるのですが、いまいちよくわかりません。

解答のとおりに変形していくと、確かに答えはでるのですが、
どうして、そのような変形を行うのかわかりません。
目的はなにでしょうか。どういうところに注意して変形を行うのでしょうか。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.4

toranekosan

消去法の手順が書いてありましたが…
実はこの手順は、行列を意味しているのです。
問題でA(x,y)=(1+k^2,1+k^2)
というAを行列で表す事が出来て、
| k 1 |
| 1 -k |

となります。
でもって、この逆行列をA^（-1）とすると、
この消去法の操作自体がAの逆行列と同値なんですね。
だからこそ、

A^(-1)A(x,y)=A^(-1)(1+k^2,1+k^2)
となります。

ちなみに、Aの逆行列は
1/(-1-k^2）＊
| -k -1 |
| -1 k |

（１）の手順を行列にすると
0 1
1 0
(2)のは
1 0
-k 1
(3)のは
1/(k^2+1) 0
0 1/(k^2+1)
(4)のは
1 k
0 1

これらの行列を掛け合わせるとAの逆行列になりますよ。上の操作はまるっきりAの逆行列を公式に当てはめないで作っているわけですね。

回答No.3

eatern27

＞やはり式変形が難しく、普通に解いた方が早いのでは？と感じました。

理系の学部に進学すれば、n個の未知数とｍ個の式を含むものを扱います(多分)。そこでは、ここでやっているのと同じ、係数を並べた行列を用いて、一般解等を考えたりします。
なので、この分野はその布石なんじゃないでしょうか。

さて、連立方程式の解は、以下の３つの場合があります。
・ただ１つの解を持つ。
・無数の解を持つ。
・１つも解を持たない。

一般の連立方程式の解法を考える場合、
・この３つのパターンのどれであるかの判別
・解を持つのなら、その解(の集合)を求める
の２つが必要です。最終的な目標としては、この２つを同時に行えるものが望ましいでしょう。
複数あるのなら、できるだけシンプルな形である(誰が解いても同じ形にできる)方が望ましいです。

n個の未知数・ｍ本の式がある時の目標はちょっと複雑なので、２個の未知数・２本の式がある場合のみを書きます。

最終的な目標は、
│　1　0　d1　│
│　0　1　d2　│
の形です。
(細かいことは省略しますが、場合によっては、
│　1　b1　d1　│
│　0　0　d2　│
の形にしか変形できない場合もあり、その場合は、この形でやめる。なお、この形になるのは、解が無数にある、または、解がない場合です)

この行列を、もとの連立方程式に戻して考えれば、
x=d1
y=d2
になりますので、解が求まっていますよね。

もちろん、
│　0　1　d2　│
│　1　0　d1　│
のように変形しても、同じようなことがいえるのですが、

先に書いた行列の第１、２列だけを見ると、単位行列の形になっていますよね。こっちの行列の方がシンプルなので、これを目標としてます。

＞というのであれば、上下別に関係ないのでは？と思うのですが…。
上下の違いというのは、連立方程式に戻せば、式を書く順番の違いですので、関係ないと言えば、関係ないのですがね。できるだけシンプルな形にしたいので、区別(？)しています。
まぁ、普通の連立方程式の解で、
(y,x)=(β,α)などとyを先に書かずに、(x,y)=(α,β)などとxを先に書くようなものだと思います。

＞・２つの行を入れ換える
＞の意義はわかりませんでした
上に書いた通り、最終的な目標は、
│　1　0　d1　│
│　0　1　d2　│
の形です。もし、途中で
│　0　1　d2　│
│　1　0　d1　│
のようになってしまった場合、
＞・２つの行を入れ換える
の操作がないとちょっと困りませんか？

まぁ、本当のことを言うと、
＞・ある行に0でない定数をかける
＞・ある行に他の行の何倍かを加える
を上手く使えば、２つの行を入れ換えることができるので、なくても問題は起こらないのですが、、

「２つの行を入れ換える」(式の順番を入れ換える)というごく簡単な変形を、わざわざ複雑にする理由は何処にもないでしょう。

回答No.2

eatern27

要するに、この部分では、連立方程式を、行列で解こうとしているのです。

行列での表現が分からなければ、普通の連立方程式に戻して考えてみればよいと思います。

＞・２つの行を入れ換える
kx + y = 1 + k^2
x - ky = 1 + k^2
という連立方程式を
x - ky = 1 + k^2
kx + y = 1 + k^2
という連立方程式にする操作です。(式の順番を入れ替えただけ)

＞・ある行に他の行の何倍かを加える
x - ky = 1 + k^2・・・(1)
kx + y = 1 + k^2・・・(2)
を解く時に、例えば、(1)*(-k)+(2)を計算して
(k^2+1)y=(1+k^2)(1-k)
のようにする操作のことです。中学の頃には「加減法」などと呼んでいた物ですね。

(k^2+1)y=(1+k^2)(1-k)
を得ましたが、この後、どうしますか？
1+k^2で両辺を割りますよね。(⇔1/(1+k^2)≠0をかける)
この部分が、
＞・ある行に0でない定数をかける
の操作です。

＞解答のとおりに変形していくと、確かに答えはでるのですが、
＞どうして、そのような変形を行うのかわかりません。
＞目的はなにでしょうか。どういうところに注意して変形を行うのでしょうか。

では、連立方程式を解くときはどのようにしますか？
x=○,y=△
の形にしますよね。つまり、
一方の式(x=○)のxの係数は1,yの係数は0
他方の式(y=△)のxの係数は0,yの係数は1
となるように変形しますよね。

なので、これが目標です。

行列の言葉で置き換えれば、
一方の行のxの係数を表すマス(?)を1に,yの係数を表すマスを0に、
他方の行のxの係数を表すマスを0に,yの係数を表すマスを1
にするのが目標です。

なので、やってる事は、逆行列を求める時によく使う掃出法と一緒ですね。

お礼

eatern27さま、早速の御回答ありがとうございました。
御回答を読ませていただいて、
・ある行に0でない定数をかける
・ある行に他の行の何倍かを加える
の二つはなんとかわかりましたが、
・２つの行を入れ換える
の意義はわかりませんでした

＞一方の行のxの係数を表すマス(?)を1に,yの係数を表すマスを0に、
＞他方の行のxの係数を表すマスを0に,yの係数を表すマスを1
＞にするのが目標です。
というのであれば、上下別に関係ないのでは？と思うのですが…。

また、実際に自分で自分が実際に連立方程式を解くのを併記してやってみましたが、いまいちうまくいきませんでした。練習すれば、慣れるのでしょうが。御回答ありがとうございました。

回答No.1

angra_temple

まず、２つの式の係数を行列にします。行列の最後の列は＝の右側(定数項)です。この問題だと
│　k　1　1+k^2　│
│　1　-k　1+k^2　│
なりますね。解答の解き方を行うと、
│　1　0　1+k　│
│　0　1　1-k　│
となります。これより、
x=1+k, y=1-kが出てきます。

僕が一番いいと思う解き方は、解答の３までで止めて、
│　k　1　1+k^2　│
│　0　1　1-k　│
として、
kX+Y ＝　1+k^2　(1)
Y ＝ 1-k　(2)
の２式を作ります。(2)よりYが出て(1)に代入するとXも出ます。

連立方程式は
(1)係数で行列を作る。
(2)２行目の１番左の係数を０にするように計算する。３行目以降は０をひとつずつ増やす。
具体的には、
a b c d e
0 f g h i
0 0 j k l
0 0 0 m n
・
・
・
のようにします。この形から連立方程式を作ります。そうすれば最後の行から未知数が１つ分かりますね。それをどんどん上の式に入れていくと全ての未知数が分かります。

文章では分かりにくいかもしれませんが、がんばって下さい。この解き方(０を作る解き方)は後々、因数分解や値を求めるのに必要な解き方です。

参考URLが図もあって分かりやすいです。

参考URL：

http://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/mathpro/2002/equations2002.files/frame.htm#slide0013.htm

お礼

angra_templeさま、早速の御回答ありがとうございました。参考urlを見せていただきました。あのようなページがあったとは驚きでした。ありがとうございました。ですが、やはり式変形が難しく、普通に解いた方が早いのでは？と感じました。ありがとうございました。