テーラー展開について教えてください

質問

データxと誤差要因zjの関係を、x＝g(z1,z2,…zk)と表した時の誤差要因のばらつきV(zj)とE(zj)とgの求め方を教えてください。

また、gをE(zj)のまわりでテーラー展開する場合の解き方を教えてください。
出来れば、何か代わりの数値を使って説明していただければうれしいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

データだの誤差要因だのと言った用語に惑わされてはいけまへん。要するに
k変数の関数g(z1,z2,…zk)がある。
それだけのことですから、テイラー展開は公式通りです。ただし、zj (j=1～k)が独立であるとは言っていない。たとえばz1で微分したら∂z2/∂z1という項も無視できない。この点にだけは注意が必要です。

　gの求め方をご質問ですが、そんなの知るか。が答です。gはアプリオリに（理論的に）与えられている式であるか、或いは実験式として求められるものであるのか、それは場合に依ります。

　期待値E(zj)や分散V(zj)の求め方なぞ、これだけの情報で決まるわけがない。それぞれ実測して求めて下さいな。そもそもzjがガウス分布するかどうかすら保証されていない訳です。ガウス分布なら期待値と分散で分布が決まりますが、他の分布だったらどうなるか分かりませんぞ。
で、j=1,2,....,kについてV(zj)とE(zj)、あるいは分布が分かったら、gの期待値や分散、あるいは分布が分かるか。
そうは参りません。というのも、たとえばz1とz3が強い相関を持っているかも知れない。ですからたとえzjがガウス分布だとしてもk個の確率変数の共分散行列を計測によって求めて戴かないと、全然話になりません。

さらに、gがどのくらいひねくれた（非線形性の強い）関数かによって、テイラー展開に統計的な意味があるかどうかが違ってきます。gが例えばzj (j=1～k)の線形結合とほとんど変わらないようなおとなしい代物であって、zjのばらつきが小さいのであれば意味はあるでしょうが、高次の項まで展開するのは大抵むだでしょうね。

ちゅう訳で、何をご質問なのかも明らかでない。

お礼

訳のわからない質問に色々答えてくれてありがとうございます。なんとかできそうです。