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二次関数の問題

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  • 質問No.146807
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お礼率 10% (7/70)

(1)変数 x,y の間に x+y=4の関係があるとき、P=x2+y2の最小値はアであ る。さらにx≧0・y≧0の条件が加われば、Pの最大値はイである。 
(2)二次関数F(x)=x2+(1-a)x+bのグラフがx軸から切り取る線分の長 さが1のとき、a,bの間にはb=ウa2+エaの関係があり、bのとり得る範囲はb ≧オである。
(3)F(x)=x2-2kx+k2+2について次の問に答えよ。ただしkは定数と する。
 1,任意のxについてF(x)≧6が成り立つとき、kの最小値はk=カであ    る。
 2,y=F(x)のグラフがx軸と交わる点を(a,0),(5a,o)とするとa=キまた はクである。

この3問のア~クを教えてください。あっ、x2などの2は二乗のことです。それと説明など加えていただけるとうれしいです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 21% (14/65)

(3)は問題がやはり違っていたんですね。(あんなこといって間違えてたらと・・・)
答えはCake0530さんのやり方と一緒です。
一箇所だけ。
f(x)=x^2ー6a+5a^2はf(x)=x^2ー6ax+5a^2です。(xが抜けてました)
あら捜しのようですみません。
平方完成したときに下に凸のグラフは最小値が、上に凸のグラフは最大値が現れます。こういった問題はそこが良く狙われるかと思います。
最後に、グラフがかけそうであれば書いてやった方が良いです。2つグラフが出てきたりするときに図を書くと気づく事も多いです。
お礼コメント
kirakira333

お礼率 10% (7/70)

ありがとうございます(^_^)すみません、2度も答えてもらって・・・
投稿日時 - 2001-10-11 19:25:16
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  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 41% (5/12)

(1)まず、x+y=4を変形してy=4-xとしてみる。 そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて いる二次関数となるので最小値ア=8(x=2のとき) 最小値のほうはx>=0,y>=0とy=4-x,x=4-yを考慮に入れるとx=0かy=0のとき が最大値イ=16となる (2)y=x^2+(1-a)x+ ...続きを読む
(1)まず、x+y=4を変形してy=4-xとしてみる。

そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて

いる二次関数となるので最小値ア=8(x=2のとき)

最小値のほうはx>=0,y>=0とy=4-x,x=4-yを考慮に入れるとx=0かy=0のとき

が最大値イ=16となる

(2)y=x^2+(1-a)x+bとおいて、y=0のときx^2+(1-a)x+b=0となり、これを解くと

x=-1+a±(√1+a^2-2a-4b)/2となる。x軸から切り取る線分の長さが1

だから[{-1+a+(√1+a^2-2a-4b)}/2]-[{-1+a-(√1+a^2-2a-4b)}/2]=1

これをbについて解いてウ=1/4,エ=-1/2となる。

************

ごめんちゃい(T_T)、ここから先はよくわかんなかった...。

ところで、この問題からすると高校一年生さんですか?

私も高校一年生です。このあたりの問題は結構得意だったはずなのですが、

見事に粉砕しちゃいました♪

数学は一人で黙々と勉強するのも良いでしょうけど、やっぱり複数人で

いっしょに考えていく方が楽しくて勉強の延びもはやいと思います。

だから、kirakira333さんもこの問題を解いた際に考えた過程を途中まででも

書いちゃいましょ♪そこから回答する人も学ぶことだってよくあることだし。

んじゃ、またの質問をお待ちしておりマース♪♪(答えられるかどうかはわか

んないけど...。) 
お礼コメント
kirakira333

お礼率 10% (7/70)

そうです、高1です!!ずっと前にやった問題が今になってできなくなってしまって・・・。ありがとうございます(^-^)
投稿日時 - 2001-10-07 13:31:01


  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

「上に開いている二次関数」なかなか的確な表現です。 rnalaidさんの書き方によると 「下に開いている二次関数」というのもあるね。 さてちょっとした理論を紹介しよう。 <曲線の凹凸の幾何学的定義> 曲線y=f(x)が与えられていてa≦x1≦x2≦bなる任意の定数x1,x2に対して、 点A{x1,f(x1)},点B{x2,f(x2)}とするとき、 (1)弧ABが常に線分ABの下側にあると ...続きを読む
「上に開いている二次関数」なかなか的確な表現です。
rnalaidさんの書き方によると
「下に開いている二次関数」というのもあるね。

さてちょっとした理論を紹介しよう。
<曲線の凹凸の幾何学的定義>
曲線y=f(x)が与えられていてa≦x1≦x2≦bなる任意の定数x1,x2に対して、
点A{x1,f(x1)},点B{x2,f(x2)}とするとき、
(1)弧ABが常に線分ABの下側にあるときは曲線y=f(x)は、a≦x≦bで下に凸という。
また、
(2)弧ABが常に線分ABの上側にあるときは曲線y=f(x)は、a≦x≦bで上に凸という。

したがって「上に開いている2次関数」は(1)の定義にあっているので下に凸だ。だから「下に凸な2次関数の曲線、あるいはグラフ」と表わせばよい。

また、以下の表現があった方がいいですね。
「したがってこの場合は頂点の座標が最小値と考えられるので…」
採点官はわかってるだろうけど、以下の言葉だけだと不十分でしょ。
「そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて
いる二次関数となるので最小値ア=8(x=2のとき) 」

代入したのに「すると」なんて仮定したような言い方もおかしい。
出来れだけ採点官にわかりやすいように書かなければならない。だから必要もないのに一文字開けないこと。この事だけを気をつけても素晴らしい解答がかけると思います。
また次の最大値ですがx=4のときも最大値16です。これも忘れずに。

(2)はrnalaidさんのやり方は計算ミスの多い私にはやりたくない解法です。だから解と係数の関係を使った解法で考える。(高校2年の数学Bで習うはず)

F(x)=0の解をα,βとすると、解と係数の関係より、
α+β=a-1,αβ=bよって、
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(a-1)^2-4b
問題文より、|α-β|=1なので、
1=(a-1)^2-4b…(☆)
後は簡単だね。

(3)
<1>
まず平方完成する。するとkが動いてもminF(x)=2≦6
したがって任意のxについてF(x)≧6は不成立。
つまり問題は不能。

<2>1の問題が怪しいので解答はしない。

これで終わり。次からは自分考えること。
お礼コメント
kirakira333

お礼率 10% (7/70)

詳しい説明、ありがとうございます。newtypeさんの説明をもう一度よく考えながら解いてみますね。
投稿日時 - 2001-10-07 13:34:15
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 21% (14/65)

(1)はx+y=4をx^2+y^2に代入しyを消去します。 P=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8 以上よりx=2のとき最小値8 また、条件から0≦x≦4、0≦y≦4となります。 グラフはx=2に関して対称なのでx=0,4のとき最大値16 (2)は解と係数の関係からが一番良いでしょう。 答えはnewtypeさんの物を参照してください。 付け足しておきますと、解を置くときにはα、β ...続きを読む
(1)はx+y=4をx^2+y^2に代入しyを消去します。
P=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8
以上よりx=2のとき最小値8
また、条件から0≦x≦4、0≦y≦4となります。
グラフはx=2に関して対称なのでx=0,4のとき最大値16

(2)は解と係数の関係からが一番良いでしょう。
答えはnewtypeさんの物を参照してください。
付け足しておきますと、解を置くときにはα、βの大小を必ず書きましょう。自分でつくった物ですから勝手に決めてかまいません。││は面倒な事になるときもありますので・・・。

(3)は問題文が違う気がします。
もしやと思いk^2を2kとしてやりましたが解が虚数になったので出来ませんでした。
問題文が違っていないのなら相当の悪問です。

最後に、最大最小の問題は平方完成をする事を習慣にしたほうが良いです。
補足コメント
kirakira333

お礼率 10% (7/70)

すみません!!3番の問題ですがやはり問題文が間違っていました。正確には、F(x)=x^2-2kx+k^2+2k+2です。本当にすみませんm(_ _)mあの、1番と2番の考え方はわかったのですが3番がわかりません。もう一度ご説明いただければうれしいです。
投稿日時 - 2001-10-08 09:16:02
  • 回答No.4
レベル7

ベストアンサー率 25% (3/12)

 (2)ですが、高校1年生なら敢えて解く必要もないかと思います。解答を見て“ふ~~~ん”くらいで。2年生で習う“解と係数の関係”ってやつを使ったほうが早いです。(やり方を知っておくのは良いことだと思うけど)  red_snakeさんの手柄を横取りするようで気が引けるけど、ついでに(3)の解答を・・・。  解〕 平方完成によって、f(x)=(x-k)^2+2k+2。下に凸のグラフを思い浮かべて、 ...続きを読む
 (2)ですが、高校1年生なら敢えて解く必要もないかと思います。解答を見て“ふ~~~ん”くらいで。2年生で習う“解と係数の関係”ってやつを使ったほうが早いです。(やり方を知っておくのは良いことだと思うけど)

 red_snakeさんの手柄を横取りするようで気が引けるけど、ついでに(3)の解答を・・・。

 解〕 平方完成によって、f(x)=(x-k)^2+2k+2。下に凸のグラフを思い浮かべて、最小は頂点のy座標(2k+2)だから、2k+2≧6。これを満たす最小のkはk=2。(前半の解答)

 また、a、5aを解に持つことから、f(x)はf(x)=(x-a)(x-5a)と因数分解できて、展開するとf(x)=x^2ー6a+5a^2。これが与式と係数比較できるから -2k=-6a かつ k^2+2k+2=5a^2。これをaについて解けば(計算略)a=-1、-1/2(後半の解答)

 僕が高校1年生のときってこんなに難しい問題解けたっけ・・・(汗)

(ポイントをあげるならred_snakeさんに差し上げて下さい。僕が手柄横取りみたいな形になっちゃったから)
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