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級数和

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お礼率 50% (4/8)

Nを自然数とし、複素数z=cosθ+isinθはzのN乗=1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗=1)である。

(1)S1=1+z+zの2乗+・・・・・+zの(N-1)乗

(2)S2=1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ

(3)S3=1+cos2乗θ+cos2乗2θ+・・・・・+cos2乗(N-1)θ

この3問の解法を教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

今晩は!
(1)は両辺にzを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。
(2)は(cosθ+isinθ)^N=cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。
(3)は難しい!お手上げです!
以上、ヒントだけ。
お礼コメント
red_snake

お礼率 50% (4/8)

こんばんわ。
早速の回答ありがとうございます。
(1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。
(2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。
(3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。
投稿日時 - 2001-09-30 22:49:18
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

brogie さんにならって,私もヒントだけ. (2) は要するに(1)の実数部です. (3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と,ド・モアブルの定理の実数部, 等比級数の和の公式,この組み合わせでできます.
brogie さんにならって,私もヒントだけ.

(2) は要するに(1)の実数部です.

(3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と,ド・モアブルの定理の実数部,
等比級数の和の公式,この組み合わせでできます.


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