正規分布近似について

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質問:No.1407564

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adinat

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正規分布近似について

たとえば、二項分布B(n,p)について、np≧5かつn(1-p)≧5なら正規分布近似できるとか、ポアソン分布Po(λ)についてλ>1000ならば、平均λ、標準偏差√ λの正規分布の非常によい近似であるとか言われますが、その他の分布についてもいつ正規分布で近似できるか、などというよく知られた判定基準はあるのでしょうか？

中心極限定理は確かに有用ですが、nがどれぐらい大きくなれば正規分布にどれぐらい近いか、ということについては何の情報もありません。もちろん分布によってその収束が大きく異なるからでしょうが、収束の速さについての一般的な理論というのはあるのでしょうか？統計の応用という意味では重要な問題のように思うのですが。

投稿日時 - 2005-05-24 20:04:07

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回答:No.1

noname#108554

「経済物理学入門」
http://www.economist.co.jp/Finance/EcoPhysics.htm
には、いろいろ書かれてますが、
特に有用そうなのはベリー・エッセンの第一定理でしょうか。

それによると、平均=0、分散=σ^2<∞、
E(|x|^3)=ρ<∞の分布に従う確率変数X_nにたいし、
X=(X_1+・・・+X_n)/√n/σ
と定義し、その分布関数(密度関数でなく)をF_nとします。
すると、標準正規分布の分布関数をΦとすれば、
|F_n-Φ|<=3ρ/σ^3/√n
だそうです。

投稿日時 - 2005-05-25 13:59:26

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お礼

Berry-Esséenの定理というのがあるのですね、ありがとうございます。ものの本にはCρ/{σ^3√n}となっていて、定数Cを具体的には書いていなかった(収束のorderがn^{-1/2}ということが言いたいことが多いからなのでしょう)のですが、3と分かれば大変に有用ですよね。

投稿日時 - 2005-05-26 22:23:33

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