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数列（ε－δ）

次の問題がなかなか解けません。 x_n→a , y_n→b のとき (1/n)[(x_1)(y_n)+(x_2)(y_n-1)+…+(x_n)(y_1)→ab を証明せよ。 いろいろやってみたのですが、積の形になっている分、どうしても最後に ε*（nに関係ある数）になってしまい、ε*定数の形がなかなか導き出せません。 どなたか教えていただけませんか？ よろしくお願いします。 なお、この問題は、 田島一郎『イプシロン-デルタ』（共立出版）の章末練習問題です

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ｎ≧Mであるすべてのｎに対して|x_n-a|,|y_n-b|<εとしま…

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回答No.1

ｎ≧Mであるすべてのｎに対して|x_n-a|,|y_n-b|<εとします。このときｎを十分大きくしておき（たとえば２Mより大きくしておきます）最初からM項と最後からM項を取り除いた和を考えます。このときn-M>Mなのでその和の各項はすべて(a-ε)(b-ε)と(a+ε)(b+ε)の間にあります。項数はn-2MでMは固定してあるのでその和をｎで割ったときのｎ→∞での極限値は再び(a-ε)(b-ε)と(a+ε)(b+ε)の間にあります。あとはεの任意性から命題が従います。

guowu-x
質問者

お礼

ありがとうございます。 何とか証明することができました。 ＞最初からM項と最後からM項を取り除いた和を考えます。 このことには気づきませんでした。 最初のM項だけ取り除いていたからうまくできなかったみたいです。 大変勉強になりました。

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