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固有ベクトルを求める問題
行列A ( 2 0 0 ) ( 1 3 1 ) ( 0 0 2 ) の固有値と固有ベクトルを求める問題です。 ↓のように解いていきました。 Ax(ベクトルx)=λx(ベクトルx)より ｜A-λE｜=｜2-λ 0 0 ｜ ｜1 3-λ 1 ｜ ｜0 0 2-λ｜ =｜2-λ 0 0 ｜ ｜0 3-λ 1 ｜ ｜0 0 2-λ｜ =(2-λ)^2(3-λ) =0 ∴λ=2,3 ここまでは、解けたのですが、 λ=2の時の、固有ベクトルを求めようとして、困りました。 λ=2の時 (A-λE)x(ベクトルx) ( 0 0 0 )(x) (0) =( 1 1 1 )(y)=(0) ( 0 0 0 )(z) (0) x+y+z=0 のようになり、方程式が1本しかつくれません。 x:y:zはどうやったらわかりますか？ 固有ベクトルを求たいのですが、わかりません。 ちなみに答えは ( 1) ( 0) c1( 0)+ c2( 1) (-1) (-1) でした。 何でこうなるのか教えてください。
- topos
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あなたの回答は正しいですよ。 たしかにx + y + z= 0 となります。 変数は３つなのに式が１つ。もちろん一意には決まりません。 上式を満たす(x,y,x)の組み合わせは無限個存在します。 じゃあ、どうするか。変数数ー式数＝3-１＝２個をパラメータ表示します。 解答では、xとyをそれぞれc1とc2でパラメータ表示しているのですね。 そうすると z= -x -y = -c1 -c2 となります。 これをベクトル表示しますと、 ( c1 ） ( c2 ） (-c1-c2) となります。 これを行列同士の和の形式になおしますと、解答の式が得られるのです。
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- sunasearch
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x+y+z=0は平面を表しますから、平面を張るためには２本のベクトルが必要で、この平面上の平行でない２つのベクトルを取り出せば、それはいずれも固有ベクトルになります。 そこで、最も簡単な組合せを考えて、 ｘ＝１、ｙ＝０のときｚ＝－１ ｘ＝０、ｙ＝１のときｚ＝－１ の２つを取り出して答えとしたということだと思います。
お礼
x+y+z=0が平面、というのが、少し分からなかったのですが、(3つ変数があるので、空間の感じがしてしまって)これから、勉強していこうと思います。 お早くお答えいただき、大変たすかりました。 どうもありがとうございました。
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