数学の図形問題（中学生レベル？）

質問

図形問題で分からないものがあるので、ぜひお知恵を貸してください。

AB＝ACの二等辺三角形ABCがあります。頂点Bから辺ACに線を、頂点Cから辺ABに線をそれぞれ引きます。この時の辺ACとの交点を点D、辺ABとの交点を点Eとし、二点を結びます。ここで求めたいのは、∠DECの大きさです。与えられた条件は、∠A＝20度、∠DBC＝50度、∠ECB＝60度です。

私は、点Eを通って辺BCと平行な線を補助線として引くのかなぁと考えていたのですが、行き詰まってしまいました…。図形問題ということで、上手い説明が出来ていない＆解説もしにくいかと思いますが、どうかよろしくお願いしますm(＿)m

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

答は３０度です。

∠BDC＝∠CBD　から　BC=BD
∠BCF＝20°となる点 F を AB 上にとると、∠CBF＝∠CFB　から　CB＝CF＝CD
ΔCDFは頂角が60°の二等辺三角形だから正三角形なので DF＝CF
また∠BEC＝40°、∠FCE＝60-20＝40°から FC＝FE
したがってFD＝FEとなるからΔDEFはFを頂角とする二等辺三角形であり、
∠EFD＝180－（∠CFB＋∠CFD）＝180-(60+80)＝40°
である。したがって∠FED＝70°。
∴∠DEC＝70-40＝30°

お礼

回答、ありがとうございます！
書いてくださった解答を見ながら、図形に書き込みをしながら考えたら、「ああぁ～、そうか！」って感じで理解することが出来ました！同位角や錯角、外角の和とかが使えないならば、特殊三角形を見つけて角度を求めるしかない、とは分かっていたんですが、∠BCEを分ける補助線を引くとは……思いつかなかったです。。。やっぱりこの辺りが思い付けるのは訓練なのでしょうね！
お礼が遅くなり、すみません。本当にありがとうございました。

回答No.1

m770

数十年前の中学生ですので、回答にたどり着けておりませんが、実際に図を書いてみたところ、

三角形ＥＡＣは、ＥＡ＝ＥＣの二等辺三角形。
三角形ＣＤＢも　ＣＤ＝ＣＢの二等辺三角形。

もし（ですよ、証明は出来ていません）
∠ＢＤＥが直角（と証明できるなら）なら、
三角形ＤＥＣも　ＤＣ＝ＤＥの二等辺三角形となって、
∠DECも簡単にわかりますが.....。
　頑張ってちょうだい！

お礼

お礼が遅くなりました。すみません。
深夜の、早速の回答、ありがとうございました！