- 締切済み
集合と命題
P→Q(バー)が矛盾するので、P→Qを集合で考えてみると、こんな疑問が生まれてきました。 P→Qを証明するのに、P→Q(バー)が矛盾していることを証明しているだけで、なぜ用が済むのでしょうか? PであるがQ出ないものがあるときのとこを考慮しなくていいのでしょうか? P→Q(バー)⇔P⊂Q(バー)より 矛盾しているので、PであるがQ(バー)でないものがある。つまり、PであるがQでないものがある、またはP⊂Qである。 になりませんか?? >PであるがQ(バー)でないものがある。 この文だけ見たら、PであるがQでないものがあるは考慮する必要はないと、なんとなくわかるんですけど・・・ P→Q(バー)が矛盾しているということは、Pであるが、Q(バー)であるものもある、がないとなぜいえるのでしょううか? Ps 私はまだまだ、未熟者なので、あまりかたい言葉を使わないで説明していただけないでしょうか?
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
みんなの回答
- kansai_daisuki
- ベストアンサー率27% (23/84)
- quantum2000
- ベストアンサー率35% (37/105)
- shkwta
- ベストアンサー率52% (966/1825)
- calypso1978
- ベストアンサー率0% (0/1)
- shkwta
- ベストアンサー率52% (966/1825)
- kfir2001
- ベストアンサー率35% (163/455)
関連するQ&A
- Q.無理数全体の集合Pについて|P|>?0を証明せよ。
Q.無理数全体の集合Pについて|P|>?0を証明せよ。 レポートを提出したのですが、上記の問いのみ、(1)(下記)を中心に説明不十分とコメントされていました。 レポートは合格したので再提出はないのですが、解答はもらえないため、気になります。 どなたか、修正および補足などをお願いします。 A. Nを自然数全体の集合、Zを整数全体の集合、Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。 |P|≠アレフゼロを背理法で証明する。 |P|=アレフゼロと仮定すると、アレフゼロからPへの全単射が存在する。 アレフゼロ=|N|だから、NからPへの全単射がある。 A={-n|n∈N}とすると、|A|=|N|=|Q|だから、 A→Qの全単射がある。 Z-{0}=A∪N (A∩N=(空集合)) R=P∪Q (P∩Q=(空集合))だから、|N|=|P|、|A|=|Q|だから、 |Z-{0}|=|R| になる。 |N|=|Z-{0}|であるから、アレフゼロ=|N|=|Z-{0}|=|R|となり、矛盾である。 よって、|P|≠アレフゼロとなる。 また、Pは有限集合であるから|P|<アレフゼロではない。 以上により、|P|>アレフゼロとなる。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合族に関する「証明」
集合Xの2つの部分集合族{Aλ:λ∈P},{Bμ:μ∈Q}について (∩{Aλ:λ∈P})×(∩{Bμ:μ∈Q}) =∩{Aλ×Bμ:<λ,μ>∈P×Q} の証明が分かりません。 (∩{Aλ:λ∈P})×(∩{Bμ:μ∈Q}) ⇔ {(XA,XB);(XA∈∩{Aλ:λ∈P})∧(XB∈∩{Bμ:μ∈Q})} ここから出発しようと思ったのですが 先に進みませんでした。 他の例があるのでしょうか。 解答例がないので困っております。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法と命題の否定について
背理法と命題の否定について 例えばp⇒qを背理法を用いて証明するとき、p⇒qの否定を仮定すると、すなわち、pであってqでないものが存在すると仮定すると矛盾が生じるから、(否定が偽ならもとの命題は真であるから、)p⇒qである。ということなんですよね? では、「nが自然数のとき、n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数である」を背理法を用いて証明するとき、冒頭の文は、「nが自然数、n(n+2)が8の倍数であり、奇数であるnが存在すると仮定する。」というのでいいんですよね? 普通参考書などではもっと簡潔に「nが奇数であると仮定する。」などと書いてあるのは、わざわざ長々と書かなくてもわかるからということなのでしょうか? しかしこの書き方だと、「全てのnが奇数であると仮定する」と言っているようにも取れるように思うのですが… p⇒qの否定は決して「p⇒qの余事象」ではないですよね? 自分の解釈に自信がもてなくて… 間違っているところがありましたら、ご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 倫理と集合についての問題がわかりません
個体領域をX,P(x),Q(x)をx∈Xに対する条件,Ap,AqをそれぞれP,Qの心理集合とするとき Ap∩Aq={x∈X;P(x)∧Q(x)}, Apの補集合={x∈X;¬P(x)} であることを示せという問題なんですがどう証明すればいいかわかりません よろしければ証明の仕方を教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 無理数全体のつくる集合
集合(入門レベル)を勉強し始めたばかりで、 「無理数全体の集合Pについて、Pの濃度は可算濃度より大きい。」 ことの証明について悩んでいます。 証明の仕方としては、 (1)|P|=|PUQ|(Qは有理数全体の集合とする。)を証明して、 (2)R=PUQ(実数の集合をRとする。)より、 |P|=|R|=c(cは連続体濃度)が成り立ち、 (3)c>可算濃度より、 |P|>可算濃度 (証明終わり) これでいいのでしょうか。 もっと適当な証明があれば教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学A、命題と論証の質問
次の命題p、qについてp⇒qの真偽を 集合を用いて答えよ。 p:自然数nは8の倍数である。 q:自然数nは4の倍数である。 これについて解答には 8の倍数である自然数の集合をP、 4の倍数である自然数の集合をQとすると P⊂Q(PはQの部分集合である)なので p⇒qは真である。 と書かれているのですが pとPは何がどう違うのか、qとQは何がどう違うのか また、P⊂Qならば何故p⇒qが真なのかが もうひとつよくわかりません。 具体例等を示して説明していただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 空集合の扱い方について
とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください… 「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題(命題1)について、 P(x)を満たすxが存在しないとき(つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき)、この命題は真だと説明されました。 理由としては、 「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」 ということらしいのです。 そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」(命題2)の真を同様に証明することもできるのでしょうか? もしできるのなら続けて質問があります。 P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題1が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。(これは授業でやりました) しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。 空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか? また、Q(x)=(x≦u)とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題1をこれまでと同様に命題1をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題2をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか?
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
返信ありがとうございました。 まだ、詳しくよんでいないんですが、 こんなに長くにわたってありがとうございました。 本当に恐縮です。