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Maclaurin級数
siegmundの回答
- siegmund
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siegmund です. > brogieさんのところで分からなかったのは、 > 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+.... > の等式自体があっているのかどうかです。 無限等比級数の和の公式 1/(1+y) = 1 - y + y^2 -y^3 + ... の y に x^2 を代入したものです. そういうわけで,収束のために条件 -1 < x < 1 がついているわけです. 収束円上のふるまいは微妙で,項別積分した arctan(x) の収束条件は -1≦x≦1 です. > それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか? しまった,brogie さんの回答を copy & paste したとき気づきませんでした. すみません,おっしゃるとおりです. もちろん,brogie さんが誤解しているわけではなくて, ミスタイプです. つまり, arctan(x) = x- x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ... です(グレゴリーの級数と名前が付いています). この式に x = 1 を代入すると,有名なライプニッツの公式 π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... が得られます. > d(x^2)/dx=2x > d(x^4)/dx=4x^3 > のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・ 最初の式の x の代わりに x^2 と置くと違うんじゃないか,ということですか? 最初の式 x の x に代わりに x^2 としたものは, d(x^4)/dx じゃなくて d(x^4) / d(x^2) ですよ.
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