積分定数に関して、です。

質問

∫f(x)dx(a～x) = F(x) - F(a) (aは任意の定数)　--(1)　
aを任意の定数とすればF(a)は積分定数、と某参考書にかいてありました。

∫f(x)dx = F(x) + C (Cは積分定数) --(2)

(1)と(2)のどちらをやっても同じというコトなのでしょうか？

つまり、F(x) - F(a) = F(x) + C なのですか？

しかし、たとえば、f(x) = x とすると、

∫xdx(a～x) = (1/2)x^2 - (1/2)a^2 (aは任意の定数)

この場合、-(1/2)a^2 <= 0 なので、(1)と(2)が同じだとすると、

C <= 0 となって、Cが任意の定数ではなくなってしまいます。

しかし、(1/2)x^2 + 5 だって、その各点xの接線の傾きがxという変化の
仕方をしているのですから、たしかにxの原始関数ですよね.

長々となってしまったんですが、結局聞きたいことは以下の通りです.

∫f(x)dx(a～x) (aは任意の定数)　= ∫f(x)dx 　なのでしょうか？

違うのであれば、それはナゼなのかを教えてください.

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

不定積分というのは「具体的な関数」を表してはおらず、
∫f(x)dx = { G | ∀x(∂G/∂x = f(x))}
つまり関数の集合を表すのです。

F∈∫f(x)dx
であるような勝手な要素Fをひとつ選ぶと、他の要素Gは全て
　∃C(G(x)=F(x)+C)
を満たします。（当たり前ですね。）これをきちんと書くと、
∀F∀G (F∈∫f(x)dx ∧ G∈∫f(x)dx → ∃C∀x(G(x)=F(x)+C))
という定理が成り立つ。
　これを省略して
　∫f(x)dx =F(x)+C　(Cは任意の定数）
と書いているとお考え下さい。言い換えれば、
　∫f(x)dx ={G| ∃F∃C∀x(∂F/∂x = f(x) ∧ G(x)=F(x)+C)}
です。右辺は関数の集合なのです。でも集合と言ってもただ単に定数項が違うだけですから、わざわざ集合として扱うのも面倒臭い。そういうわけで「積分定数」なる略記法を使っている。

　もうお分かりでしょうが、
∫f(x)dx(a～x) (aは任意の定数)
というのは
∫f(x)dx(a～x) (aは任意の定数)
　　＝ {G| ∃F∃a∀x(∂F/∂x = f(x) ∧ G(x)=F(x)-F(a))}
の意味です。

　これらの集合の要素Gに課せられた制約
　∃F∃C∀x(∂F/∂x = f(x) ∧ G(x)=F(x)+C)　　…(1)
と
　∃F∃a∀x(∂F/∂x = f(x) ∧ G(x)=F(x)-F(a))　…(2)
を比べてみると、前者はCには何の制約もないのに対して、後者は
　∃C∃F∃a∀x(∂F/∂x = f(x) ∧ C=-F(a) ∧ G(x)=F(x)+C)　…(2')
と書き換えても良いですね。つまり「C=-F(a)となるようなaが存在する、そのようなCに限る。」という制約が余分に付いています。だから
　∫f(x)dx(a～x)(aは任意の定数)　 ⊂　∫f(x)dx
という関係になります。両者は微妙に違います。違いますが、多くの場合たいした問題じゃありません。

　下記URLもご参考に。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32716

お礼

ぼくがオボロゲながらに疑問に思っていたことを、論理的にピシャリと
説明してくだっさってスッキリしました。

あと、参考URLも読ませてもらったんですけど、とても解りやすく、
そして、感動しました。
参考URLを読んで、下記のようなことを理解できたように思います。

∫xdx(a～x) = (1/2)x^2 - (1/2)a^2 = (1/2)x^2 + C (C<=0)

積分というのは、元はといえば面積を求めるためのもの。
関数f(x) = x の世界で面積を求めるという目的の下では、
∫xdx = (1/2)x^2 + C で、C>0の関数郡は、実はあってもなくても
どっちでもいい、ということだったんですね。

あくまで不定積分は定積分のオプションだということの本質を今回やっと
理解できたように思います。

思うんですが、もしこの解釈の仕方がどこかずれてるぞ、ということが
ありましたら御指摘お願いします。(実は9割方理解したように感じるんですが、
まだカンペキではないような…とも思っているのです。)

ないようであれば、明日(8/19)の終わりごろに締め切らせてもらう予定です。

それでは、どうもありがとうございました。

補足

※お礼の後に書きました。

そうか、今気づいたんですが、関数f(x) = x の世界で面積を求めるという
目的の下では、 C>0の関数群が要らないどころか、
一つだけでいいのですね。ということは、不定積分なんかイラン、ということに
なるワケですね…

回答No.4

newtype

置換積分法なんかも微少量の和の極限として求めます。これは高校ではやりませんし、大学でもやらないところがあるんじゃないかな。教えたいのでまた質問してください。

私もさっき凸の集合のところで回答していたとき、ダッシュがよく見えてないのに気づき、理解してもらえるかなとちと不安だ。

お礼

>教えたいのでまた質問してください。

ホントですかっっ！？　ぜひお願いします。
最近置換積分を改めてマスターして、前回の質問のときの疑問は一応
解決していたんですが、やっぱり、普通の教科書に載っているような説明では
あまり味わい深くない、というかイメージがワキにくいでした。

>置換積分法なんかも微少量の和の極限として求めます。

なんだか味わい深そうですね。
「微少量」という単語と、＃３の方が紹介してくださった参考URLから察するに、
「超準解析」や「超関数」などがからんでくるんでしょうか？

それでは、あと少ししてから「置換積分法について」というお題で
質問を立ち上げますので、回答を期待しています。

回答No.2

taropoo

∫f(x)dx = F(x) + C (Cは積分定数)
∫f(x)dx = F(x) + D (Dは積分定数)
∫f(x)dx = F(x) + E (Eは積分定数)
とした場合、C,D,Eは各式では任意定数ですが３つ並べると
　　　　C = D = E
という拘束条件が生まれてきますよね。
という事はC,D,Eは任意定数ではなくなるという事です。

> ∫f(x)dx(a～x) (aは任意の定数)　= ∫f(x)dx 　なのでしょうか？

に関して言えば○、

> F(x) - F(a) = F(x) + C

についてa,Cを任意定数と言えば×ということでしょう。

お礼

ありがとうございました。

＃3の方の回答を読んでやっと理解できたのですが、
どうも結局、
∫f(x)dx(a～x) (aは任意の定数)　= ∫f(x)dx 　ではないみたいです。

回答No.1

newtype

面積または速度から位置を求めるとき、まず最初に微少量の和の極限（定積分）
から考えないからこういう疑問がでるのだと思います。
最近の新課程とやらは不定積分から教えて次に定積分を教えますが、これでは積分の本来の意味がよくわからないだけではなく、二重に教え直さない限りdetmul2さんのように、計算（計量）の技術の段階で悩むのだと考えられます。

detmul2さんは数Ｃの区分求積法から勉強するか、「定積分は微分法とはまったく無関係に定義される」と書いてある参考書を探して勉強なさったほうがよいです。

さて以前あなたは∫Ｗdx=Ｗｘ＋Ｃとすべきを∫dW＝Ｗ＋Ｃと同じではないかと
勘違いなさっていましたよ。

お礼

あくまで不定積分は定積分のオプションだということですね。
ありがとうございました。

>さて以前あなたは∫Ｗdx=Ｗｘ＋Ｃとすべきを∫dW＝Ｗ＋Ｃと同じではないかと
勘違いなさっていましたよ。

あれは、∫W’dx = W + C が ∫dW = W + C と結果的におなじ、というものでした。
たしかにダッシュ記号を半角で書いた「W'」はダッシュ記号が見えにくいですね.
今度からは全角にするように心がけます。