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変分解析
siegmundの回答
siegmund です． blue_monkey さんのご回答は変分法の標準的手続きに沿ったものですが， (1)の問題の場合は式の形から答が簡単にわかります． まず，題意からして座標軸の選び方には関係がないですから， P1，P2 の代わりに Q1(0,0)，Q2(X,0) としても一般性を失いません． あるいは，適当に座標軸を回転と平行移動したと思ってもＯＫです． Q1，Q2 間の曲線 y = f(x) の長さは guiter さんが書かれておられるように Ｌ＝∫(0～X) √{1 + (df/dx)^2} dx です． 被積分関数は常に正ですから， もし積分範囲内で至る所 df/dx = 0 となるようにできれば， Ｌが最小値を取ることは自明です． Q1，Q2 を結ぶ直線は df/dx = 0 ですから，実際にそのように選ぶことは可能です． したがって，２点を結ぶ曲線のうち長さが最小のものは直線です． もとの P1,P2 のままやりますと， 常に df/dx = 0 とは選べないので (y1≠y2 なら P1,P2 の両方を通るようにはならない)， 上のように簡単にはできません．
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お礼
やったらできました。ありがとうございました。