逆数をとるということ

質問

a=1、<an+1>=<an>-1/<an>+3で定義される数列{an}について、
(1)<bn>=1/<an>+1とおくとき、<bn+1>と<bn>の関係式を求めよ。
(2)一般項{an}を求めよ。

(1)なのですが、
<bn>=1/<an>+1の分母をはらい、<bn>で両辺を割り、
<an>+1=1/<bn>として、代入という手順になりますよね。
(問題解説にはそうありました。)

1/<bn+1>=2/2<bn>+1

※両辺の逆数をとって※

<bn+1>=2<bn>/2+1/2

<bn+1>=<bn>+1/2　・・・(答)

この※部分なのですが、逆数を取るということは
「分母と分子をひっくり返す」とありました。
こうすることでも 「関係式に誤差が生じない」 というの
が不思議です。

例えば、
3x=6　x=2　という式があったとします。
これは逆数をとると
1/3x=1/6　x=2　となり、同じ答えが出てきますよね。

この問題の場合の式の逆数をとるということは、↑これと
同じ原理のことなのでしょうか。

自分なりに調べてみたのですが、
「逆数とはかけて１になるような２つの数」ということと、
この問題の式が関係してるということが漠然としています。

それならば、最初の<bn>=1/<an>+1を変形するとき、
わざわざ両辺を<bn>で割らなくても、逆数をとって代入
するという手順を踏んでもいいのではないかと思ったので
すがいかがでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

悩んでいることがイマイチよくわからないのですが．．．。

逆数を取るというのは、
　「a=b」⇔「1/a=1/b」
というだけのことですが。

なので、
>>この問題の場合の式の逆数をとるということは、↑これと同じ原理のことなのでしょうか。
→そうです。

また、
>>それならば、最初の<bn>=1/<an>+1を変形するとき、
わざわざ両辺を<bn>で割らなくても、逆数をとって代入するという手順を踏んでもいいのではないかと思ったのですがいかがでしょうか。
→いいですよ。単に手順の問題です。

お礼

ご回答をありがとうございます。
「何の計算もなく」ただ単に「ひっくり返すだけ」と参考書に
書いてありましたので、こんなのでいいのかとふと疑問に思ってしまったのです。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#8027

>「分母と分子をひっくり返す」とありました。
>こうすることでも 「関係式に誤差が生じない」 というの
>が不思議です。

例えば、
Ｘ＝Ｙ
という関係式があったとき、「１／Ｘ＝」を計算してみようと思ったら、

ＸにＹを代入すればいいわけですから、
１／Ｘ＝１／Ｙ
が成り立つわけです。

それ以外は、式変形のやり方だけのことなので、質問者さ
んの考え方でまちがいないことは、＃１さんの書いているとおりです。

（補足）
ただし、分母になりますので、
Ｘ＝Ｙ≠０という条件が必要となります。
この問題においては、<bn>=1/<an>+1と仮定しているので、
<an>+1≠0を厳密に記述しようとすると面倒です。

お礼

ご回答をありがとうございます。
なるほど、そういうことだったのですね。

ただ単にひっくり返すだけという手順に、一体どんなしくみになっているのか
さっぱりわかりませんでした。
そこで、簡単な方程式にあてはめて考えてみたら、逆数にする前と
同じ答えが出てきたので、こういうことなのかなと確認もしたかったので。
安心できました。

ありがとうございました。