ピタゴラス数にからんだ整数問題

質問

以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）

自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。

(1)
　a,bをともに奇数とすると
　i,jを任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。
　すると、
　　a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
　よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
　よって
　　c=2k
とおく。
　すると、
　　0=a^2+b^2-c^2
　　 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
　よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
　よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。

(2)
　m,n（m＜n）を自然数として
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
とおく。
　（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
　以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
　上の式をn^2,m^2について解くと
　　n^2=(c+a)/2
　　m^2=(c-a)/2
となる。
　よって
　　n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
　よって
　　b=2mn
となる。
　これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
　よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
　またこれより題意をみたすとき
　　a+c=2n^2
　よって題意は示された。

(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？

回答No.10

tiezo-

（２）の証明が少し強引な気がします
aとbが互いに素なことより導くほうが良いと思います
No8の方と同じですが
a,cは整数よりa+c=x ,c-a=y ただしx*y=b^2とすると
x=2*n^2の形になることが示せます
互いに素がポイントだと思います
あまり自信はありませんが

お礼

回答ありがとうございました。