正2^5√2-2の後に√のなかに二十根が続いている

質問

正64角形の3.14に導く計算の仕方がどうにもわからない老人です。二十根のなかにさらに二十根が続いていくような円周率を計算していくようなのですが、円周率3.14が正確に求められていく様子がわかります。と書いてあったので、ぜひその様子を知りたいと思っています。どなたかお教えくださいませ。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

ACを円に内接する正n角形の一辺としてその長さをa(n)，ADを円に内接する正2n角形の一辺としてその長さをa(2n)とします。また円の半径は１とします。三角形ADEと三角形BDAは相似ですのでAD/DE=BD/DAです。
AD=a(2n)，DE=1-OE=1-√(1-AE^2)=1-√(1-(a(n)/2)^2)，BD=2，DA＝a(2n)ですので
a(2n)/(1-√(1-(a(n)/2)^2))=2/a(2n)
a(2n)^2=2(1-√(1-(a(n)/2)^2))=2-√(4-a(n)^2)
a(2n)=√(2-√(4-a(n)^2))
となります。
ここで半径1の円に内接する正4角形の一辺の長さは√2ですので，
a(4)=√2
a(8)=√(2-√2)
a(16)=√(2-√(2+√2))
a(32)=√(2-√(2+√(2+√2)))
a(64)=√(2-√(2+√(2+√(2+√2))))
半径1の円に内接する正2n角形の一辺の長さのn倍が円周率の近似値になります。これが#1で書いたこと。
実際に計算してみるとだんだんと真の円周率の値に近づいているのがわかりますよね。

お礼

丁寧にくわしくせつめいしていただき恐縮です。ほんとうに有難うございました。

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回答No.1

f272

正4角形 2.828427125=SQRT(2)*2
正8角形 3.061467459=SQRT(2-SQRT(2))*4
正16角形 3.121445152=SQRT(2-SQRT(2+SQRT(2)))*8
正32角形 3.136548491=SQRT(2-SQRT(2+SQRT(2+SQRT(2))))*16
正64角形 3.140331157=SQRT(2-SQRT(2+SQRT(2+SQRT(2+SQRT(2)))))*32
こういうこと？

補足

SQRTを使った計算方法がわかりません。子供みたいな質問で申しわけありませんが、そこのところをくだいて教えて戴けませんでしょうか？　頭の中がとっちらかっている老人です。よろしくお願い申し上げます。