場合の数と確率

質問

袋に5色のボールがそれぞれ5個ずつ入っており、一つずつ取り出していき全色手元に揃った時をコンプリートとします。
6回目、7回目でコンプリートする確率をそれぞれ求めよ。
という問題がわからないので教えていただきたいです。

回答No.2

phistoric

この問題は、順列や組み合わせを使って場合の数を求め、それを元に確率を求める問題になります。

まず、最初に5つのボールを取り出して、全色が揃うまでに必要な回数を考えます。最初の5つのボールを取り出す時に、最低でも1つは全色が揃っていることになります。したがって、最短で6回目には全色が揃います。また、最初の5つのボールを取り出した時に、全色が揃っていた場合は、最短で5回目に揃うことになります。

次に、6回目で揃う場合を考えます。6回目で揃うためには、最初の5つのボールを取り出した時に、1つの色が抜けている必要があります。抜けている色は5色の中から1つ選ぶことができます。その後、6回目にその色を取り出せば全色が揃います。最初の5つのボールを取り出す時に、全色が揃っている場合は、6回目に揃うことになります。

6回目で揃う場合の場合の数は、5色の中から1つの色を選ぶ場合の数に等しく、5通りです。

次に、7回目で揃う場合を考えます。7回目で揃うためには、最初の6つのボールを取り出した時に、2つの色が抜けている必要があります。抜けている色は、5色の中から2つ選ぶことができます。その後、7回目にそれらの色を取り出せば全色が揃います。最初の6つのボールを取り出す時に、全色が揃っている場合は、7回目に揃うことになります。

7回目で揃う場合の場合の数は、5色の中から2つの色を選ぶ場合の数に等しく、5個の中から2個選ぶ組み合わせの数は、5C2=10通りです。

したがって、6回目で揃う確率は、5/25=1/5であり、7回目で揃う確率は、10/25=2/5です。

以上より、6回目でコンプリートする確率は1/5、7回目でコンプリートする確率は2/5となります。