確率の問題が解けません

質問

赤玉5個、黒玉3個、白玉が4個入っている袋から.一個の玉を取り出し、玉の色を確認してから袋に戻すという試行を考える、この試行を三回行った時、2個だけがおんなじ色になる確率を求めよ。
この問題がわかりません...

回答No.7

noname#231363

しつこいようですが、ANo.5の再補足です。

この問題からは離れますが、ANo.5における式(5)
1-(a^3+b^3+c^3+6abc)/(a+b+c)^3
で、a=x-x=0、b=x、c=x+x=2x（xは正の整数で、これがαに相当）とすると、
1-(a^3+b^3+c^3+6abc)/(a+b+c)^3
=1-{0^3+x^3+(2x)^3+6×0×x×2x}/(0+x+2x)^3
=1-9x^3/27x^3
=1-1/3
=2/3
よって、玉の色が2種類であったとしても、一方の玉の数（少ない方）がx個であるときに、もう一方の玉の数が2x個であれば、「この試行を3回行った時、2個（回）だけが同じ色になる確率」はやはり2/3になります。

回答No.6

noname#231363

ANo.5の補足です。

ANo.5では、問題が「赤玉5個、黒玉3個、白玉4個」なので、赤玉の個数と黒玉の個数の間にある白玉の個数を中心に考えましたが、例えば、「赤玉3個、黒玉4個、白玉5個」のように個数が入れ替われば、黒玉の個数を中心に考えればよく、考え方はANo.5と全く同様で、答えは計算するまでもなく2/3になります。
また、式(5)における6abcの6は、「aとbとcの出方（並び方）が3!=6通りある」とするよりも、「赤玉と黒玉と白玉の出方（並び方）が3!=6通りある」とした方が適切でした。

回答No.5

noname#231363

答えは2/3ですが、「この試行を3回行った時、2個（回）だけが同じ色になる確率」ということで、赤玉と黒玉と白玉の個数が変わったとしても、この確率は常に2/3になるのではないかとの疑問を抱いたので、この点についての考察をしてみました。

赤玉をa個、黒玉をb個、白玉をc個とすると（a、b、cは正の整数）、
赤玉が2回出る確率は、a^2(b+c)×3/(a+b+c)^3－(1)
なお、×3の3は、黒玉または白玉が1回目か2回目か3回目かの3通りの出方があるという意味で、自分としてはこれを3C1=3通りと考えた方が分かりやすいと思います。
同様に、黒玉が2回出る確率は、b^2(c+a)×3/(a+b+c)^3－(2)
同様に、白玉が2回出る確率は、c^2(a+b)×3/(a+b+c)^3－(3)
よって、求める確率は、(1)+(2)+(3)であるから、
3{a^2(b+c)+ b^2(c+a)+ c^2(a+b)}/(a+b+c)^3－(4)
この分子=(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3+6abc)であるから、
式(4)は次のようになります。
{(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3+6abc)}/(a+b+c)^3
=1-(a^3+b^3+c^3+6abc)/(a+b+c)^3－(5)
これは、余事象での考え方そのものです。
因みに、6abcの6は、aとbとcの出方（並び方）が3!=6通りあるという意味です。

ここで、b≦c≦a、α≧0（αは整数）、a=c+α、b=c-α＞0とすると、
式(5)は次のようになります。
1-{(c+α)^3+(c-α)^3+c^3+6(c+α)(c-α)c}/{(c+α)+(c-α)+c}^3
=1-(3c^3+6α^2c+6c^3-6α^2c)/(3c)^3
=1-9c^3/27c^3
=1-1/3
=2/3

問題では、c=4、α=1、a=4+1=5、ｂ=4-1=3であるから、答えは2/3になる訳です。
また、c=5、α=3として、a=5+3=8、ｂ=5-3=2としても、α=0として、a=b=c=5としても、答えはやはり2/3になります。

なお、例えば、a=6、b=3、c=4とすると、式(5)における
(a^3+b^3+c^3+6abc)/(a+b+c)^3は、
次のようになります。
(6^3+3^3+4^3+6×6×3×4)/(6+3+4)^3
=(216+27+64+432)/13^3
=739/2197
≒0.33637
≠1/3
よって、この場合は、答えは2/3にはなりません。

回答No.4

staratras

余事象の考え方で解くのが「急がば回れ」でかえって速いかもしれません。

3回取り出した時のすべてのパターンは玉を毎回袋に戻すので、同一の玉を3回取り出す場合なども含まれ、12^3=1728(通り）ですが、3つの玉の色の分かれ方を考えると、以下の3つの場合です。

１．３つとも異なる色、２．２つは同じ色で1つは別の色、３，３つとも同じ色

１は5Ｃ1・3Ｃ1・4Ｃ1・3P3=360(通り）、３は5^3+3^3+4^3=216(通り）なので
２は1728-(360+216)=1152(通り）

したがって求める確率は　1152/1728=2/3

※おそらく１は、5Ｃ1・3Ｃ1・4Ｃ1だけでよいのではないかと誤解しやすい(回答者も当初そう考えた）と思います。よくよく考えれば、赤玉5個のうちから1個、黒玉3個のうちから1個、白玉が4個のうちから1個取り出す場合の「組み合わせの数」は確かにその通りですが、別に「赤⇒黒⇒白」の順番に取り出す必要はなく、その順番は3Ｐ3通りあるので「起こり得る場合の数」としては、これを掛ける必要があります。

回答No.3

Pochi67

＃２さんへ。
>> 三ヶ所のうちのどこかに入ります。⇒３P1
> その試行を4回行った後、3個が同じ色になる、という場合に
> 破綻しそうな気がしてなりません。

　問題文に「試行を三回行った時」とあるのに、四回めを考える必要があるのでしょうか？
　私が問題を捉え間違えている、あるいは考え方や計算がおかしい点があれば、指摘していただけると助かります。

※これは回答者同士の争いではなく、正しい回答に近付けるための投稿です（争うつもりは全くありませんし、間違いがあれば訂正したいです）。
　質問の直接的な回答ではありませんが、サイトが規定しているルール違反行為のつもりはないので、できれば通報はご遠慮ください。

回答No.2

asuncion

＞三ヶ所のうちのどこかに入ります。⇒３P1
その試行を4回行った後、3個が同じ色になる、という場合に
破綻しそうな気がしてなりません。

回答No.1

Pochi67

図形に置き換えてみますね。
　全体は、◎◎◎◎◎　▲▲▲　◇◇◇◇　の、全部で１２個です。
　で、三回の試行で２個だけが同じ色になる組み合わせは、以下の１８通り（左から、１回め・２回め・３回め）。

　◎◎▲　◎▲◎　▲◎◎
　◎◎◇　◎◇◎　◇◎◎

　▲▲◎　▲◎▲　◎▲▲
　▲▲◇　▲◇▲　▲◇▲

　◇◇◎　◇◎◇　◎◇◇
　◇◇▲　◇▲◇　▲◇◇

　で、【◎◎▲　◎▲◎　▲◎◎】というように、【↓◎↓◎↓】２個同じ玉の間に別の色が、三ヶ所のうちのどこかに入ります。⇒３P1

　5/12 × 5/12 × 7/12 × 3P1　＋　3/12 × 3/12 × 9/12 × 3P1　＋　4/12 × 4/12 × 8/12 × 3P1

という解き方ではないかと。

お礼

助かりました！ありがとうございます！