統計学の問題

質問

統計学の問題で以下の２つの解き方を教えてください。
1.一個辺りの重さがN(100,10)の正規分布に従うある果物について、
100個を1セットとし、1セット辺りの重さが平均を10000gとして誤差200gに収まる確率を求めよ

2.100円が3枚、10円が8枚、1円が5枚入っている袋から同時に3枚取り出した時、三枚の合計が120円以上である条件のもと、1円が含まれる条件付き確率を求めよ

よろしくお願いいたします

回答No.7

phistoric

1. 一個辺りの重さがN(100,10)の正規分布に従うある果物について、100個を1セットとし、1セット辺りの重さが平均を10000gとして誤差200gに収まる確率を求めるには、まず1セット辺りの重さの分布を求めます。1セット辺りの重さは100個の重さの総和であり、100個の重さは独立同分布なので、中心極限定理により、1セット辺りの重さはN(10000, 1000)の正規分布に従います。
次に、1セット辺りの重さが平均を10000gとして誤差200gに収まる確率を求めるために、標準化して標準正規分布表を用いることができます。具体的には、Z = (X - μ) / σ とおいて、P(|Z| < 200 / √1000) を求めます。ここで、Xは1セット辺りの重さ、μは平均値10000g、σは標準偏差√1000gです。

計算すると、P(|Z| < 2√10) ≒ 0.7642 となります。つまり、1セット辺りの重さが平均を10000gとして誤差200gに収まる確率は約76.42%です

2. 条件つき確率の公式に基づいて解いていきます。

まず、1円玉が含まれる場合と含まれない場合で場合分けをします。

1円玉が含まれる場合、残りの2枚から合計が119円以上になるような組み合わせは、以下の通りです。

100円玉1枚 + 10円玉1枚
100円玉1枚 + 1円玉9枚
10円玉11枚
1円玉29枚
以上の4通りが該当します。このうち、1円玉が1枚以上含まれるという条件のもとで考えると、1円玉1枚 + 10円玉1枚の組み合わせが該当します。したがって、1円玉が含まれる条件のもとでの合計が120円以上になる確率は、以下の通り求められます。

P(1円玉が含まれるかつ合計が120円以上になる) = P(1円玉が含まれる場合) × P(合計が120円以上になる | 1円玉が含まれる)

P(1円玉が含まれるかつ合計が120円以上になる) = (5/16) × (1/4) = 5/64

次に、1円玉が含まれない場合、残りの2枚から合計が120円以上になるような組み合わせは、以下の通りです。

100円玉3枚
100円玉2枚 + 10円玉2枚
100円玉2枚 + 1円玉8枚
100円玉1枚 + 10円玉6枚
100円玉1枚 + 1円玉14枚
10円玉12枚
以上の6通りが該当します。このうち、1円玉が含まれないという条件のもとで考えると、100円玉3枚の組み合わせが該当します。したがって、1円玉が含まれない条件のもとでの合計が120円以上になる確率は、以下の通り求められます。

P(1円玉が含まれないかつ合計が120円以上になる) = P(1円玉が含まれない場合) × P(合計が120円以上になる | 1円玉が含まれない)

P(1円玉が含まれないかつ合計が120円以上になる) = (11/16) × (1/10) = 11/160

したがって、条件つき確率を求めると、

P(1円玉が含まれる | 合計が120円以上になる) = P

私の答えが正しくない場合は申し訳ありません🙏🙏

回答No.6

abiwirang

一セット辺りの重さが平均を10000gとして、誤差200gに収まる確率を求めるには、正規分布の性質を使います。平均10000g、標準偏差10gの正規分布において、100個の平均の標準偏差は、10 / √100 = 1となります。また、1セットの重さの標準偏差は、√100 × 10 = 100となります。したがって、標準正規分布を用いて、次のように求めることができます。
Z = (10000 - 100) / 1 = 9900
P(|X - 9900| < 100) = P(-2 < Z < 2) ≒ 0.9544

以上のように、求める確率は約0.9544となります。

100円が3枚、10円が8枚、1円が5枚入っている袋から同時に3枚取り出した時、三枚の合計が120円以上である条件のもと、1円が含まれる条件付き確率を求めるには、全ての可能な組み合わせを調べて確率を計算します。まず、120円以上になる三枚の組み合わせを考えます。
100円3枚：300円
100円2枚、10円1枚：210円
100円1枚、10円3枚：130円
100円1枚、10円2枚、1円1枚：121円
100円1枚、10円1枚、1円2枚：112円
10円8枚：80円
10円7枚、1円1枚：71円
10円6枚、1円2枚：62円
10円5枚、1円3枚：53円
10円4枚、1円4枚：44円
10円3枚、1円5枚：35円
10円2枚、1円6枚：26円
10円1枚、1円7枚：17円
1円5枚：5円
したがって、三枚の合計が120円以上になる場合の数は、6通りとなります。また、このうち1円が含まれる場合の数は、4通りとなります。よって、条件付き確率は4/6=2/3となります。

回答No.5

f272

N(100,10)ではなくN(100,10^2)であれば
1個あたりの重さがN(100,100)の正規分布に従うのなら、1セット100個あたりの重さはN(10000,10000)の正規分布に従います。
つまり誤差200に収まるということは、平均から標準偏差のプラスマイナス200/sqrt(10000)=2倍の範囲ということですから、標準正規分布表から、その確率はほぼ0.9545です。

回答No.4

timepointstreem

一個辺りの重さがN(100,10)の正規分布に従うある果物について、100個を1セットとし、1セット辺りの重さが平均を10000gとして誤差200gに収まる確率を求めよ。
解法1:
まず、1セットの重さの平均は、100個の平均の総和である100×100 = 10000 gとなります。また、1セットの重さの標準偏差は、100個の標準偏差の平方和の平方根で求められます。すなわち、100×10 = 1000 gです。ここで、誤差が200 gに収まる確率は、標準正規分布を用いて以下のように計算できます。

P(|X - 10000| < 200) = P(-2 < (X - 10000)/1000 < 2) ≈ 0.9545

したがって、誤差が200 gに収まる確率は約0.9545となります。

解法2:
正規分布を用いた近似計算ではなく、正確な計算を行いたい場合は、以下のように計算できます。

100個の重さの総和Xは、N(10000×100, 100×10000)の正規分布に従います。ここで、標準偏差は1000g×10（個数）=10000gとなります。したがって、標準化すると、

(Z = X - 10000×100) / 10000 = (X - 1000000) / 10000

Zが-2から2の範囲に収まる確率は、正規分布表を用いて以下のように求めることができます。

P(-2 < Z < 2) ≈ 0.9545

100円が3枚、10円が8枚、1円が5枚入っている袋から同時に3枚取り出した時、三枚の合計が120円以上である条件のもと、1円が含まれる条件付き確率を求めよ。
解法:
まず、三枚の合計が120円以上になる場合の組み合わせを求めます。100円は3枚までしか選べないため、以下のように場合分けして考えます。

・100円を3枚選ぶ場合
10円と1円の組み合わせで120円以上になるのは、
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3

回答No.3

WAVE2OK

はい、補足いたしますね！😊

まず、3枚の中に1円が必ず含まれる場合を考えます。この場合、1円を選ぶ組み合わせは必ず1つ存在します。

次に、残りの2枚の合計が120円以上になる組み合わせを考えます。

100円硬貨が2枚以上含まれる場合、その2枚を選ぶ方法が6通りあります。残りの1枚は、10円硬貨か1円硬貨である必要があります。10円硬貨の場合、8枚中から1枚選ぶ方法が8通りあります。1円硬貨の場合、5枚中から1枚選ぶ方法が5通りあります。よって、この場合の組み合わせ数は、6×8 + 6×5 = 78通りとなります。

100円硬貨が1枚しか含まれない場合、その1枚と10円硬貨を選ぶ方法が24通りあります。残りの1枚は、10円硬貨か1円硬貨である必要があります。10円硬貨の場合、8枚中から1枚選ぶ方法が8通りあります。1円硬貨の場合、5枚中から1枚選ぶ方法が5通りあります。よって、この場合の組み合わせ数は、24×8 + 24×5 = 552通りとなります。

以上より、合計が120円以上になる組み合わせの数は、6 + 78 + 552 = 636通りとなります。そして、1円が含まれる場合の組み合わせ数は、1×(6+78+552) = 636通りとなります。

つまり、条件付き確率は、3(1円が含まれる場合の組み合わせ数) / 636(合計が120円以上になる場合の組み合わせ数) ≈ 0.0909となります。

回答No.2

f272

(1)
1個あたりの重さがN(100,10)の正規分布に従うのなら、1セット100個あたりの重さはN(10000,1000)の正規分布に従います。
つまり誤差200に収まるということは、平均から標準偏差のプラスマイナス200/sqrt(1000)=6.32倍の範囲ということですから、標準正規分布表から、その確率はほぼ1です。
これは問題がおかしいと思う。1個あたりの重さがN(100,10^2)の正規分布に従うの間違いではないか？
(2)
100円が3枚、10円が8枚、1円が5枚入っている袋から同時に3枚取り出した時、三枚の合計が120円以上であるのは
100円が1枚、10円が2枚、1円が0枚の場合は3*28*1=84通り
100円が2枚、10円が1枚、1円が0枚の場合は3*8*1=24通り
100円が2枚、10円が0枚、1円が1枚の場合は3*1*5=15通りです。
このとき、1円が含まれる条件付き確率は15/(84+24+15)=5/41です。

最近はAIを使った嘘回答が多くなっていますので、注意してください。

お礼

早速のご回答ありがとうございます
AIでの回答があるんですね…気をつけます…！
(1)は仰るようにN(100,10)ではなくN(100,10^2)でした。ちなみに、N(100,10^2)の場合、下の方が仰っている回答で合ってそうですかね…
(2)ありがとうございます。理解しました。

回答No.1

WAVE2OK

こんにちは😊🌈

統計学の問題に挑戦ですね！✏️📚 詳しく考察し、それぞれの問題の解き方を説明していきますね😉🌟

問題1について🍎📊

こちらの問題では、中心極限定理を利用します🔍✨ 中心極限定理によれば、大きなサンプルサイズの場合、平均値の分布は正規分布に近づくことがわかっています🌟

この場合、果物1個の重さがN(100, 10)の正規分布に従うとしています🍏🍊 100個の果物を1セットとし、その合計の重さをXとします🍇🍋

平均値μ_X = 100 * 100 = 10000g
分散σ^2_X = 100 * 10^2 = 10000
標準偏差σ_X = √10000 = 100

誤差が±200g以内に収まる確率を求めます。つまり、9800gから10200gの範囲ですね📏

標準化を行い、Zスコアを求めます。

Z1 = (9800 - μ_X) / σ_X = (9800 - 10000) / 100 = -2
Z2 = (10200 - μ_X) / σ_X = (10200 - 10000) / 100 = 2

標準正規分布表を使って、Z1とZ2の範囲内の確率を求めます。

P(-2 < Z < 2) = Φ(2) - Φ(-2) ≈ 0.9772 - 0.0228 = 0.9544

つまり、誤差が±200g以内に収まる確率は約95.44%です👍✨

問題2について💴🔢

袋に入っている硬貨は、100円が3枚、10円が8枚、1円が5枚ですね💰 同時に3枚取り出す場合、3枚の合計が120円以上になる条件付きで、1円が含まれる確率を求めます🤔

まず、取り出した3枚の合計が120円以上になるパターンを考えます。それは、以下の通りです🔎

100円+100円+10円（6通り）
100円+100円+1円（3通り）
100円+10円+10円（24通り）

これらを合計すると、合計33通りの場合があります🌟

1円が含まれるパターンは3通りです👍✨

最後に、条件付き確率を求めます。

P(1円が含まれる | 合計が120円以上) = (1円が含まれるパターン数) / (合計が120円以上のパターン数)

= 3 / 33 ≈ 0.0909

つまり、3枚の合計が120円以上である条件のもと、1円が含まれる条件付き確率は約9.09%です🌈📈

この回答がお役に立てれば嬉しいです😄

お礼

ご回答ありがとうございます！
考え方も記載してくださり分かりやすくて助かります。
ただ、(2)について、なぜ
100円+100円+10円（6通り）
100円+100円+1円（3通り）
100円+10円+10円（24通り）
となるのか補足頂けたら幸いですm(_ _)m