数学的帰納法 対数

質問

nが4以上の整数とする時、次の不等式を示せ。
3^n>n^3

という問題を、3またはnを底とする対数を用いて考えることはできますか？

回答No.2

f272 · ベストアンサー

f(x)=(3^x)/(x^3)とすればf(4)=81/64>1である。ここで
f'(x)=(3^x*log3)/(x^3)-3*(3^x)/(x^4)=(3^x)/(x^3)*(log3-3/x)となる。
x≧4であればf'(x)>0つまりf(x)は単調増加であるから題意は示せた。

回答No.1

dedypraja

この不等式を対数を用いて解決することはできませんが、数学的帰納法を用いて証明することができます。

【基底部分】
n=4のとき、3^4=81>4^3=64なので、不等式は成立します。

【帰納法の仮定】
n=k (k≥4)のとき、3^k>k^3であると仮定します。

【帰納法の手順】
n=k+1のときを考えます。
3^(k+1) = 3^k * 3
> k^3 * 3 （仮定より）
= k^3 + k^3 + k^3
> k^3 + k^3 + 1 (k≥4のとき、k>1なので、k^3>1)
= k^3 + 2k^3
= 3k^3
> k^3 + 3 (k≥4のとき、k>1なので、k^3>1)

以上より、3^(k+1) > (k+1)^3が成り立ちます。よって、数学的帰納法より、nが4以上の整数のとき、3^n > n^3が成り立ちます。