ドップラー効果

質問

Vec(u):ベクトルu
音速:c=331m/s
振動数ω_0の音源が一定速度Vec(u)で動いている場合、観測される振動数は
ω=(ω_0c)/(c-ucosθ)
θ:音波の波数ベクトルVec(k)とVec(u)のなす角

線路から30m離れたところで、時速100kmで通過する電車の警笛の振動数を測定したとする。測定した振動数の時間変化を求めよ。ただしt=0で警笛がもっとも近接したとする。

という問題で、結果は
警笛の振動数をω_0とするとω=ω_0[1+0.07t/sqr(1+0.8t^2)]^{-1}
となるらしいのですが、このことがうまく導けなくて困っています。
それに、この式だとt=0のときω=ω_0/2になるんですよね・・・。本当にいいんでしょうか・・・。

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

時刻t=0で警笛がもっとも近接したとすると，以降は警笛はどんどん遠ざかって行きますね．

以下紙と鉛筆を持って絵を書いて考えて下さい．

線路からの観測地点までの距離：h＝30 m，
電車の速さ：u＝100 km/h≒27.8 m/s

ω＝(ω_0c)/(c－ucosθ)
＝ω_0/{1－(u/c)cosθ}
＝ω_0[1－(u/c)cosθ]^(-1)

ここで，cosθをtを使って表します．
図より，
cosθ＝－(ut)/sqrt{h^2＋(ut)^2}
を代入．

ω＝ω_0[1－(u/c)cosθ]^(-1)
＝ω_0[1＋(u/c)(ut)/sqrt{h^2＋(ut)^2}]^(-1)
＝ω_0[1＋(u/c)(ut)/{h・sqrt{1＋(u/h)^2t^2}]^(-1)
＝ω_0[1＋(u^2/h/c)t/sqrt{1＋(u/h)^2t^2}]^(-1)

値を代入すれば同じ式が出てきます．

>それに、この式だとt=0のときω=ω_0/2になるんですよ>ね・・・。
計算ミスしたのでしょうかね．t＝0ではちゃんとω＝ω_0になります．

分からないところがあればまた補足ください．では！

お礼

あ、すいません。なんか計算ミスしてました。
ルートの中身に何で1とか出てくるのかなーと思ってたもんですから。
割ればよかったんですね。