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固定点（不動点）定理　中間値の定理を用いた証明方法 今大学で固定点（不動点）定理の証明の課題がでています。 中間値の定理を用いた証明です。 イメージはわかったのですが文章で書くとなるとうまく書くことができません。 アドバイス、回答なんでもいいのでよろしくお願いいたします。

最大公約数に関する問題です。 『２つの整数6186と4709の最大公約数(6189,4709)を求めよ。また、この最大公約数に対して、(6189,4709) = 6186X + 4709YとなるX,Yを見つけよ。』という問題です。最大公約数は1と求められたのですが、後半の『(6189,4709) = 6186X + 4709YとなるX,Yを見つけよ。』は、X,Y の組み合わせが無数にあると思うのですが、どうしたら良いのでしょうか？宜しくお願い致します。

ガロア理論に興味を持っていて、勉強してみようかなという気になっています。大学生の頭で理解できるものでしょうか？また、それなら先に何々を勉強した方が良い、というのはありますでしょうか？

素数の分類と無限性に関して。 ※＾は乗数の意味です。 8n+1型の素数が無限に存在することの証明 原始根の存在（素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること）を使う。 x を整数とする時x＾4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x＾4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)＾4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。 私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。 この証明の流れや、8n＋1型の素数が無限に存在することは理解できるのですが、上の証明における「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる」の部分がどのようにして言えるのかが分かりません。フェルマーの小定理を用いているのでしょうか？ よろしくお願いします。

素数の逆数和が無限大に発散することを、自然数の逆数和が無限に発散することの考えを用いて示したいです。 以下の証明で２点ほど分からない部分があります。＾は乗数の意味です。 文中の(1)右辺を展開すると自然数の逆数和になるというのがどこから判断できるのかという点と、(2)オイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x はどのような公式なのか。がよく分かりません。 証明は下記になります。 無限等比級数の公式より、 -1<x<1のとき初項１、項比 x の無限等比級数は Σ x^n = 1/(1 - x) となりました。 ここで x に素数の逆数を入れていくと 1/(1-1/2) = 1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + … 1/(1-1/3) = 1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + … 1/(1-1/5) = 1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + … 1/(1-1/7) = 1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + … のようになります。これらを辺々かけあわせると、 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = (1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + …) × (1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + …) × (1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + …) × (1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + …) × … となります。ここで右辺を展開すると、 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + … となり、これは自然数の逆数の和です。 これは無限大になりましたね。つまり U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = ∞ なんですね。ここでオイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x です。これを利用すると、 U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … ≦ 101/2+1/3+1/5+1/7+… Uは無限大なのでそれより大きい 101/2+1/3+1/5+1/7+… も無限大となり、 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … つまり素数の逆数の和も無限大になるわけです。 以上が素数の逆数和が無限に発散することの証明です。 もしよろしければ、よろしくお願いします。

この代数拡大を言うには，Q(√2)のすべての元がQ上代数的であることを言えばいいんですよね？ そこで，Q(√2)の任意の元はa+b√2 （a,bはQの元）と表せますので，このa+b√2に対して， f(a+b√2)=0―(1) となるような多項式Q[X]の元f(X)が存在することを言えばいいのだと考えました． しかし，(1)を満たすようなQ[X]の元であるf(X)が見つかりません… f(X)=X-(a+b√2) のようなものも考えましたが，これは係数が有理数体Qの元になっていないので，Q[X]の元ではありませんし． どのような多項式となるのでしょうか？ 根本から考え方が違うのかもしれませんが，よろしくお願いします．

経済学部の大学生です。 宿題をだされたんですが、どうしても１問解けなくて困ってます。 集合Ａ，Ｂについて ＿　＿ Ａ⊂ＢならばＢ⊂Ａとなることを示しなさい。 どなたかわかる人がいましたら、助けてもらえませんか？？？

区間[0,∞)で定義される複素数値連続関数の集合をCとする。 (C,+,×)は零因子持つことを示したいのですが解法のほどをお願いします。

(1) 写像f:Ａ→Ａとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。 (2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。 上の問題の(1)は以下のように考えました。 f(A) は A の部分集合。 f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。 このような証明で十分なのでしょうか？また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。 わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

赤チャートに完全順列の証明が載っていました ＜証明＞ n個の数の順列1,2,・・・,nの完全順列の個数をW(n)で表す。 1,2,・・・,nの完全順列をf(1),f(2),・・・f(n)とする。 f(1)=k とするとこの完全順列は[1],[2]のどちらかである。 [1]f(k)=1 であるもの 　1,k　を除いた　2,・・・,k-1,k+1,・・・,n のn-2個について完全順　列であるからその個数はW(n-2)個 [2]f=(k)　ではないもの　 　f(h)=1とするとh=kではないから,f(1)=1,f(h)=kと置き換えると,1を　除いた　2,・・・,n のn-1個について完全順列であるから,その個数 　はW(n-2)個 2≦k≦nであるから,kのとりうる値は　n-1通り したがってW(n)=(n-1){W(N-1)+W(N-2)} 　　　＜終＞ いくつか理解できない点があります (1)なぜf(k)=1と、f(k)=1でないものに分けて考えているのでしょうか？ (2)[2]で、f(1)=1,f(h)=kと置き換えるとはどういう事なのでしょうか？ 　何のために置き換えるのですか？

閉じていると閉集合って同じ事なのでしょうか？ ベクトル空間の定義で、a，b∈V→a+b∈Vとありこれは加法が閉じていることを示しますが、この閉じているというのは閉集合と関係があるのでしょうか？ 閉集合は、∀xが集合Uの境界点で、ｘ∈Uの場合です。 閉じていると閉集合は関係あるように思うのですが、どうなのでしょうか？ 同じ場合、なぜ2つの言葉で表すのでしょうか？使い分け方などあるのでしょうか？

複素数　|z|≦|Rez|+|Imz|≦√2|z| の証明の仕方がどうしてもわかりません。分かる方詳しく解説お願いします。

現在，ガロア理論を理解するために，まず群論を勉強しています． そこで「準同型定理」や「群が同型である」という言葉が出てきます． そこで質問なのですが，「群が同型」であるということはどのような利点があるのでしょうか？

n番目のフィボナッチ数をFnとします。このとき、 1/F1F2-1/F2F3+1/F3F4-1/F4F5+… =1-1/2+1/6-1/15+… を求めたいのですが、どうやって求めればよいでしょうか? パソコンで計算したところ、(-1+√5)/2に収束するらしいことは分かったのですが、その証明が分かりません。 出来れば早めに回答を頂きたいです。

次の整数問題はどのようにときますか。連続除法とそうでない場合とで考えたいのでご教授してください。いくら考えてもよい答えができません。 「a,bは整数とする。(a,b）=1のときax+by=1を満たす整数x,yが存在することを示せ」 よろしくお願いします。

Wikipedia のどこかで「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」ことが 20 世紀の終わりごろ証明されたと書いてあるのを見た記憶があります。でも、英語だっ たか、日本語だったかも記憶がありません。何度も検索しなおしたのですが、そのページ が見つかりません。 私の直感は掲題の命題が成り立つとも言っています。でも、こんな凄まじい結果が数学の 教科書や web ページに書いてないのも変です。私の認識に、何らかの誤りがありそうで す。以下のことについて教えてもらえますでしょうか。 １ 「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」の証明があるか否か。 １－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、 １－２ 無いのならば、その反例。 ２ より狭めて「位数 N の有限群は置換群 Sn(N) の部分群である」が言えそうに思えます。 　 でも反例もありそうにも思えます。この証明があるか否か。 ２－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、 ２－２ 無いのならば、その反例。 以上、詳しい方、よろしくお願いします。

Wikipedia のどこかで「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」ことが 20 世紀の終わりごろ証明されたと書いてあるのを見た記憶があります。でも、英語だっ たか、日本語だったかも記憶がありません。何度も検索しなおしたのですが、そのページ が見つかりません。 私の直感は掲題の命題が成り立つとも言っています。でも、こんな凄まじい結果が数学の 教科書や web ページに書いてないのも変です。私の認識に、何らかの誤りがありそうで す。以下のことについて教えてもらえますでしょうか。 １ 「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」の証明があるか否か。 １－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、 １－２ 無いのならば、その反例。 ２ より狭めて「位数 N の有限群は置換群 Sn(N) の部分群である」が言えそうに思えます。 　 でも反例もありそうにも思えます。この証明があるか否か。 ２－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、 ２－２ 無いのならば、その反例。 以上、詳しい方、よろしくお願いします。

洋書では答えが５になっているものがありますが， （０も５も５で割り切れるから当然ですが） 和書でそのような問題を見かけた方はいらっしゃいますか。 生徒に教えていいものか悩むときがあったので・・・

巡回群Z_nの自己同型写像の数を求めろという問題なのですが、 小さい数で試すと、きっとnと互いに素な数と同じだけあるように思います。(自己同型写像={a→a^p:pはnと互いに素}というようなかんじ) ですが、うまく証明が出来ません。どなたか証明と、もし間違っていたら答えを教えていただけませんでしょうか。

次のような問題です。 a_1=1,a_n+1=1/(1+a_n)の漸化式で定まる数列を考える。 このとき数列a_nが収束することを示せ。 こんな問題なのですが、分かりそうでわかりません。 実際、順に書き並べていくと分子・分母がフィボナッチ数列になり一般項は求められないこともないですが、複雑すぎてここから収束性を示すのは難しいと思います。 また、この数列は有界なことは分かりましたが単調数列じゃないので収束性は示せませんし・・・ だれか分かるかたいましたら解答お願いします。