青チャート 2B 例題38について

質問

(2)の解説に疑問点があります。

2x^2-(k+2)x+k-1=0 (kは定数)
の解の種類を判別せよ、という問題です。

kが定数のとき、kは実数も虚数もその値としてとりうる、と理解しています。

チャート式の解説では

D=(k-2)^2+8
ゆえに　すべての実数kについてD>0
よって　異なる二つの実数解をもつ

と解説されています。
kは虚数もとりうるのであれば、kが実数の場合についてだけでなく、虚数である場合についても考える必要があると思いますが、なぜkが虚数である場合について記されていないのでしょうか。

回答No.6

tmppassenger

ほとんど繰り返しになりますが、考慮するべき点を書いておきますかね。

虚数係数の2次方程式を考える場合：
○
一般に判別式Dが虚数となりうるので、Dと0との「大小関係」というものが使えない。Dが0か非零かという判定しか書けない。
Dが実数であると分かる場合には、Dと0との大小関係が書ける場合がある（この場合も、虚数係数の場合は、例えばDが実数で正としても、実数解2つ、とは限らない）。
○
「実数解と虚数解を持つ」とかいう場合も有りうるので、考えるべきケースがもっと複雑になる。虚数解2つの場合も、一般に一方が他方の共役であるとは限らない。

回答No.5

tmppassenger

虚数（複素数体）の範囲を考えると、一般に正負とか大小関係とかいうのが定義されないので、D>0 とかいう表現そのものが使えませんね。

方程式 2x^2-(k+2)x+k-1=0 を[1]とおく。[1]を変形すると、
{ x - (k+2) / 4 }^2 = (1/16) * ( k^2 - 4k + 12)
となる。以下 k^2 - 4k + 12 = (k-2)^2 + 8を D(k)と書く。

A. kが実数の時
D(k)は実数かつD(k) > 0であって、x = {(k+2) / 4} ± (1/4) * √(D(k)) がxの解となるから、[1]は2つの実数解を持つ。

B. kが虚数の時
まず、このときxが実数解を取り得るかを調べる。[1]を変形すると
(x-1)k = 2x^2 - 2x - 1 [2]
となる故、[1] が1以外の実数解 aを持つとすると、[2] から k = (2a^2 - 2a -1 ) /(a-1)となって、kが実数となるから矛盾である。
従って、[1]が実数解を持ちうるなら、それは1であるが、この時[2] の左辺は0、右辺は -1となり矛盾である。
従って、 kが虚数の時、 [1]は虚数解しか持たない。

B-1
B(k) = 0, 即ち k = 2± 2√(-2) の時、[1] は2重解 (2± √(-2))/2 のみを持つ（複号同順）

B-2
B(k) ≠ 0, 即ち kは虚数、かつ k≠ 2± 2√(-2) の時
この時、D(k)≠0。
z^2 = D(k)を満たす zは2つ存在するから（※）、それらをz_1, z_2 とおくと、 x = (k+2 +z_1)/4, x=(k+2 + z_2) / 4の2つの虚数解を持つ事になる （両方共実数にならないことは、既に示した）

従って、
2つの実数解：kが実数の時
1つの2重虚数解: k = 2± 2√(-2) の時
2つの虚数解：又は kが虚数かつ、k≠ 2± 2√(-2) の時

（※）
D(k) = m + n√(-1)とおく（m, nは共に実数）。この時D(k)≠0である故、sとtは何れか一方は0でない。
実数 r を r= √(m^2 + n^2) とおくと、r>0 である、 c = m/r, s = n/rとおくと、c, sはともに実数で、 c^2+ s^2 = 1　となる。これより、-1≦c≦1, -1≦s≦1となることに注意。

今、実数x, yに対し、 (x+y√(-1))^2 = D(k) = r (c + s√(-1))となるx,yを求めると、
x^2 - y^2 = rc , 2xy = rs となる。
ここで、(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = r^2 (c^2 + s^2) = r^2 。
従って、x^2 + y^2 = r である。
そこで、改めて x /√r = X, y/√r = Y とおくと,
X^2 + Y^2 = 1, 2XY = s となる。これより (X+Y)^2 = 1+sである故、 X+Y = ±√(1+s)となる。 1+s ≧0である事に注意。
また、x^2 - y^2 = rc は X^2 - Y^2 = cと同値である。

[a] s = -1 の時、c=0であって Y = -X, X= ±√(1/2), Y=∓√(1/2)となる。
[b] s≠-1の時、X+Y = ±√(1+s)≠0であって、X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) = cであるから、X-Y = ± c/√(1+s)（複合同順）。
従って、X = ±(1/2) (1+s+c)/√(1+s), Y = ±(1+s -c)/√(1+s) である（複合同順）。
この時、確かに2XY = 2(1/4) (1+2s + s^2 - c^2) / (1+s) = (2s + 2s^2) / (1+s) = sとなっているから、正しい。
従って、いずれの場合も (x+y√(-1))^2 = D(k) なる複素数 x+y√(-1)は、2とおり存在する。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

青チャートは手もとにないため確認できませんでしたが、同じ出版社（数研出版）の数学IIの教科書で「判別式」の項目には
「今後、特に断りがない場合は、方程式の係数はすべて実数とし、方程式の解は複素数の範囲で考えるものとする。」
という断り書きがありました。
青チャートにも同様の表記があるものと思われます。

しかし、実際の試験では誤解のないように「aを実数の定数とする」と明記すべきでしょう。

もし係数を複素数の範囲まで拡張した場合は、判別式Dは「解の重複度」のみを判別できます。（D=0のときは複素数の範囲で重解、D≠0のときは複素数の範囲で異なる2解）

お礼

確かに教科書に方程式についてのより詳しい説明がありました。青チャートの解説のみだと自分が理解するのにはやや不足かもしれないと感じました。教科書を併用しながらじっくり青チャートの問題に取り組んでみます。ありがとうございました

回答No.3

tmppassenger

ちなみに、ではkが虚数の場合もあり得る、とすると、どう回答しますか。補足に下さい。

補足

仮にkが虚数を値とするとき虚数はa+bi (a,bは実数)と表されるから判別式Dは　D=(k-2)^2+8 = (a+bi-2)^2+8

Dは虚数となり解の判別ができるかについては自分の知識ではわかりません(D>0,D=0,D<0のいずれも満たさないのではないかと思います)。

回答No.2

asuncion

kは定数である、とかいてあれば、
通常は実数の範囲だけで考えます。
虚数まで考える必要があれば、
問題文にその旨指示があります。

回答No.1

oosawa_i

青チャートは手元にありませんが、東京書籍の数学の教科書には２次方程式の係数は実数の場合のみを考えるということが書かれていました。
高校の数学の範囲では特別な場合を除き実数のみを考えればいいのでは？
青チャートのその章の最初のあたりを探してみてください。