確率教えてください

質問

xy平面上の点Pは原点から出発して、次の規則で動くものとする。サイコロを振って、
偶数の目が出れば、x軸の正の方向に1だけ動き、
奇数の目が出れば、y軸の方向に1だけ動く。
サイコロを6回振るとき、次の確率を求めよ。

問題 Pが点(1,2)または(2,3)を通る確率

この問題の解き方を丁寧に説明して欲しいです🙏🙇‍♂️

回答No.6

staratras

No.3です。訂正と補足です。
訂正
誤：例えばさいころを2回振った後の状態は(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 で表せて、2回振った後に、3点(1,0),(1,1),(0,1)にある確率の比が1:2:1であることを…
正：例えばさいころを2回振った後の状態は(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 で表せて、2回振った後に、3点(2,0),(1,1),(0,2)にある確率の比が1:2:1であることを…

補足
2点(1,2)と(2,3)の位置関係を活用すると、さらに効率的に解けます。下の図で各格子点に付けた数字（パスカルの三角形）は、その点に至る経路の本数(つまり何通りあるか）を示しています、また同じ回数だけサイコロを振った後の位置は赤い右下がりの線分上にあるので確率の和は１です。

ここで、点(1,2)から点(2,3)に至る経路は緑色の2本(2通り）だけで、点(1,2) を通ったのちに点(2,3)を通るか通らないかは1/2ずつの確率です。点(1,2）に至る経路は3通りなので、「点(1,2)を経由して点(2,3)に至る経路」は2×3の6通りあり、点(2,3)に至る経路が10通りなので「点(1,2)を経由しないで点(2,3)に至る経路」は10-6で4通りです。

そこで、「点(1,2)または点(2,3)を通る確率」を次の2通りの方法で求めることができます。

１）「点(1,2)を通る確率」と「点(1,2)を経由せずに点(2,3)を通る確率」の和　　3/8+4/32=1/2

２）「点(2,3)を通る確率」と「点(1,2)を通るが点(2,3)を通らない確率」の和　　10/32+3/8×1/2=5/16+3/16=1/2

回答No.5

asuncion

さっきの回答で言いたかったのは、
(1, 2)も(2, 3)も通らない場合の数が32あるから、
(1, 2)も(2, 3)も通らない確率は32/64 = 1/2
よって求める確率は1 - 1/2 = 1/2
ということでした。念のため。

回答No.4

asuncion

図で考えてみました。
(1, 2), (2, 3)は通れず、6回振ったときに
到達できるのは図の赤丸の場所で、
赤丸の数字がその場合の数です。
その合計は32で全事象は2^6 = 64だから、
求める確率は32 / 64 = 1 / 2

回答No.3

staratras

さいころを振ってx軸の正方向に動く確率をx、y軸の正方向に動く確率をyとすると、x=y=1/2だから、さいころをn回振ったあとのすべての状態は(x+y)のn乗を展開した多項式で表すことができて、各項の係数の比は確率の比に等しくなります。
例えばさいころを2回振った後の状態は(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 で表せて、2回振った後に、3点(1,0),(1,1),(0,1)にある確率の比が1:2:1であることを示します。この確率の和は１ですので、点(1,1)にある(を通る)確率は1×2/(1+2+1)=1/2,
または、(1/2)^2・2=1/2 で求めることができます。

同様に、点(1,2)を通る確率は(x+y)^3におけるxy^2の係数は3ですので、(1/2)^3×3=3/8です。また点(2,3)を通る確率は(x+y)^5におけるx^2y^3の係数は10なので、(1/2)^5×10=10/32=5/16 です。

ここで点(1,2)または点(2,3)を通る確率は、2点それぞれを通る確率の和から「点(1,2)と点(2,3)の両方を通る確率」を引いたものです。

この確率は(x^3+3x^2y+3xy^2+y^2)×(x^2+2xy+y^2)の展開式において、x^2y^3の係数のうち、初めのカッコ内の3xy^2にかかわる分なので、3xy^2×2xy=6x^2y^3の６だけです。したがってその確率は(1/2)^2×6=6/32=3/16　です。

したがって求める確率は、3/8+5/16-3/16=1/2 です。なお具体的な計算では、1-2-1、1-3-3-1、1-4-6-4-1、1-5-10-10-5-1 とパスカルの三角形で考えれば素早く計算できます。

回答No.2

kiha181-tubasa

＞丁寧に説明して欲しい
ということなので，ちょっとくどいですが辛抱のほどを……。

点Pが点(1,2)または点(2,3)を通る確率は
「点(1,2)を通る確率①」+「点(2,3)を通る確率②」-「点(1,2)と点(2,3)の両方を通る確率③」
で求められます。まずそれぞれを計算します。

①について……点(1,2)を通るためには，初めの３回のうち偶数が１回，奇数が２回出ることが必要十分である。後の３回は不問。
②について……点(2,3)を通るためには，初めの５回のうち偶数が２回，奇数が３回出ることが必要十分である。後の１回は不問。

サイコロを１回投げて偶数が出る確率も奇数が出る確率も共に1/2です。
したがって
①の確率は
3C1(1/2)(1/2)^2*1=(3/1)(1/2)^3=3/8
②の確率は
5C2(1/2)^2(1/2)^3*1=(5*4/2*1)(1/2)^5=5/16

次に，
③点(1,2)と点(2,3)の両方を通る確率
を求めます。
初めの３回のうち偶数が１回，奇数が２回出る。その次の２回では偶数と奇数が各１かいずつ出る。６かいめは不問だから，確率は
3C1(1/2)(1/2)^2*2C1(1/2)(1/2)*1=(3/8)*(1/2)=3/16

ゆえに求める確率は
3/8+5/16-3/16
=8/16=1/2

回答No.1

CygnusX1

これぐらいだったら、全部数えた方が早いのでは。
(1, 2) を通るなら、3回で、全部で 2^3 = 8通り
その中で(1, 2) を通るのは
x y y
y x y
y y x
の3通りで 3/8

(2,3) を通るなら、5回で、全部で 2^5 = 32通り
その中で(2, 3) を通るのは……
x x y y y
x y x y y
……

全部で6回振るとしても、そこを通ったあとはどこを通ってもいいのでそれ以上は無視(確率 1 )