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ベクトルと閉曲面の問題
siegmundの回答
直感的にほぼ明らかと思いますが， ちゃんとやるならガウスの発散定理の直接の帰結です． ベクトル S を (→S) と書くことにします． ガウスの発散定理は (1) ∫_V ∇・(→A) dv = ∫_S (→A)・d(→S) です． 左辺は領域 V についての体積積分，右辺はその表面 S についての 面積分です． ∇はナブラ，∇・(→A) は div(→A) と同じことです． もちろん，(1)の両辺ともスカラー． お尋ねのものは (2) ∫_S d(→S) というベクトル量ですが，その x 成分は (3) ∫_S (→i)・d(→S) というスカラー量です． (→i) は x 方向の単位ベクトル． (3)は(1)の右辺で (→A) を (→i) としたものですが， (→i) は定ベクトルですから当然 ∇・(→i)=0 です． したがって (4) ∫_S (→i)・d(→S) = 0 が得られます． 全く同様にして，y 成分，z 成分もゼロであることがわかります． 以上より (5) ∫_S d(→S) = (→0) 右辺はベクトル量のゼロの意味です．
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