2次関数の問題です

質問

実数x、yが19x^2+6xy+11y^2=1を満たしながら動くとき、x^2+y^2の最大値、最小値、およびそれらを与えるx、yの値を求めよ。この問題の解説をお願いします！

回答No.2

staratras

ラグランジュの未定乗数法を使うのが正攻法で効率的でしょうけれど、力任せに計算しても同じ答えに到達します。計算が相当量あるので、途中を省略しています。

19x^2+6xy+11y^2=1 …（１）
（１）より　11y^2+6xy+19x^2-1=0　これをyについて解くと
y={-3x±√(11-200x^2)}/11　これを代入すれば、

x^2+y^2={-70x^2±6ｘ√(11-200x^2)+11}/121　…（２）

これをf(x)とおき、ｘで微分すれば、
f'(x)= {2400x^2-66±140x√(200-11x^2}/{121√(200-11x^2)}…（３）
f'(x)=0 とすると　x=±1/10、x=±3√2/20

（３）の正負から（２）の根号内及び右辺が負にならない範囲での増減を考えるとf(±1/10）=1/10　 が最大値で、f(±3√2/20)=1/20 が最小値。

このときのyの値を求めると
最大値1/10を与える　(x,y)=(±1/10,∓3/10）　
最小値1/20を与える　(x,y)=(±3√2/20,±√2/20) いずれも複号同順

下の２つのグラフをご参考まで。

,

回答No.1

gamma1854

これは傾いた楕円周について、その長軸、短軸を求める問題。
F(x, y)=19x^2+6xy+11y^2 - 1=0,..(*)
f(x, y)=x^2+y^2.
とおき、Lagrange の未定乗数法を適用します。
∂f/∂x - λ*(∂F/∂x)=0, ∂f/∂y - λ*(∂F/∂y)=0, および (*) により x, y, λを求めます。
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結局、x^2 - 30x+200=0, の解の逆数が求めるMax, min,を与えます。
計算はご自身で。