｛x｝、[x]、x

質問

｛x｝、[x]、x
がこの順で等比数列となる実数xを全て求めよ

この問題の答えが分かりません。｛x｝がxの少数部分で[x]がxの整数部分から｛x｝=xー[x]として、等比中項で計算してやりましたが、解が0しか出てこなくて、問題的にx=0のみというのは流石におかしいと思い他に色々やりましたが、一向にアイディアが思いつきません。

この問の回答よろしくお願いします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

[x] = yとおくと yは整数。又、y ≦ x< y+1.
{x} = x-y

{x}, [x], xがこの順で等比数列となる
⇔ ([x])^2 = {x} * x
⇔ y^2 = x(x-y)
⇔ x^2 - xy - y^2 = 0

A. y=0の時 x^2 = 0となるから x=0

B. y≠0の時 x/y = tとおく。
t^2 - t - 1 = 0
t = (1/2) * (1±√5)

y≠0であるから y>0ならx≧y>0, y<0ならy≦-1であるからx<y+1=0。
つまり xとyは同符号。t=x/y>0となる故
t = (1/2) (1+√5)。

x=yt = (1/2)(1+√5)y > yから (1/2)(-1+√5)y > 0よって y>0
x=yt = (1/2)(1+√5)y < y+1.
(1/2)(-1+√5)y < 1
従って y< (1/2)(1+√5) < (1/2)(1+3) = 2
適するのは y=1 のみ。従って x=yt = (1/2)(1+√5)

従って問題の解は、 0と (1/2)(1+√5)（但し、初項が0のものは等比数列と呼ばない、 という定義であれば0は除く）

注： (1/2)(1+√5)は黄金比で、「{x}, [x], xがこの順で等比数列となる 」というのは黄金長方形に関係しています。

お礼

丁寧に回答を教えて頂きありがとうございます。

回答No.1

f272

普通にやればx=(√5+1)/2というのが出てくるけど...