グリーン関数の微分方程式について

質問

いつもお世話になっております。
流体力学のグリーン関数の導出、式(2)についてご指南願います。

図1に示すようにZが水面より下でζより大きい場合は領域I、ζより小さい場合に領域IIとした時に
領域Iで成立する解をG1、領域IIで成立する解をG2、全領域で成立する解をGとした時に
式（２）’の導出がどうしても分かりません。
（領域Iでは式(１)と(２)、領域IIでは式(１)と(３)を満たす）

なお、G1とG2はそれぞれZ＝ζを含まないので式(1)の右辺のδ関数のところはゼロとし計算できる為、2階線形常微分方程式により未定係数を2個含んだ一般解として式(1)'が求められます。(ここまでは自力で計算できました）

式(2)では変数分離法を使いG1を求めましたが解が式(2)'の様になりませんでした。
どなたか分かる方は導出方法について教えて頂けますでしょうか。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)'　G=C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)
だから
dG/dz=C1*|κ|*exp(|κ|z)-C2*|κ|*exp(-|κ|z)
したがって
dG/dz-KG
=C1*|κ|*exp(|κ|z)-C2*|κ|*exp(-|κ|z)-K(C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z))=0 (on z=0)
=C1*|κ|-C2*|κ|-K(C1+C2)=0
これより
C1*(|κ|-K)-C2*(|κ|+K)=0
となるので
C1=C2*(|κ|+K)/(|κ|-K)=C2*(2|κ|/(|κ|-K)-1)
これを(1)'　G=C1*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)に代入すると
G2=C2*(2|κ|/(|κ|-K)-1)*exp(|κ|z)+C2*exp(-|κ|z)
G2=C2*(exp(-|κ|z)-exp(|κ|z)+(2|κ|/(|κ|-K))*exp(|κ|z))

お礼

早速のお返事ありがとうございます。
大変勉強になりましたm(_ _)m