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測度論の問題です。
f: R→R が右連続なら、fは可測関数(ボレル可測関数ないしはルベーグ可測関数)といえるでしょうか?証明付きで解説してください。
- sonofajisai
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Q=(全有理数) f;R→R a∈R lim_{x→a+0}f(x)=f(a) とすると 任意のε>0に対して あるδ>0が存在して 0≦x-a<δとなる任意のxに対して |f(x)-f(a)|<ε となる E={x:f(x)>r} S=Q∩E とすると t∈S に対して G(t)={a≦t;a≦x≦t→x∈E} H(t)={b>t:t≦x<b→x∈E} g(t)=infG(t),(inf=下限が無い場合-∞} h(t)=supH(t),(sup=上限が無い場合∞} g(t)<x<h(t) とすると g(t)≦a<x,a∈G(t)となるaがある x<b<h(t),b∈H(t)となるbがある x=tの時x=t∈E x<tの時 g(t)≦a<x<t,a∈G(t)→a≦x≦t→x∈E t<xの時 t<x<b<h(t),b∈H(t)→t≦x<b→x∈E だから (g(t),h(t))={x;g(t)<x<h(t)}⊂E g(t)∈Eの時F(t)=[g(t),h(t))={x;g(t)≦x<h(t)} g(t)∈R-Eの時F(t)=(g(t),h(t))={x;g(t)<x<h(t)} とすると F(t)⊂E F(t)の測度は |F(t)|=h(t)-g(t) だからF(t)は可測集合 A=∪_{t∈S}F(t) とすると |S|=|Q∩E|≦|Q|=(可算濃度) F(t)は可測集合 だから Aは可測集合で A=∪_{t∈S}F(t)⊂E={x;f(x)>r}…(1) a∈E={x:f(x)>r} とすると f(a)>r だから f(a)-r>0 に対して あるδ>0が存在して 0≦x-a<δとなる任意のxに対して |f(x)-f(a)|<f(a)-r r-f(a)<f(x)-f(a) r<f(x) だから x∈E だから b=a+δ [a,b)={x;a≦x<b} とすると [a,b)⊂E となり (clQ=Rだから) a<t<b,t∈S=Q∩Eとなるtがあり g(t)≦a<t<b≦h(t)だから a∈F(t)だから E⊂∪_{t∈S}F(t)=A これと(1)から A=∪_{t∈S}F(t)=E={x;f(x)>r} は可測集合 だから fは可測関数
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