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グラフ理論の問題
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帰納法を使います。 頂点数が2の時(a)は成り立つ。 頂点数が2以上k以下の時(a)が成り立つと仮定すると、 頂点数がk+1の時、 1)グラフに辺が一本も無いとき、明らか。 2)グラフが非連結で辺が一本以上あるとき、 このグラフは頂点数2以上k以下の連結成分を持つ。 この連結成分は帰納法の仮定より同じ次数の頂点を持つ。 よってこのグラフも同じ次数の頂点を持つ。 3)グラフが連結であるとき、 各頂点の次数は1以上k以下のk種類である。頂点はk+1個あるので 鳩の巣原理より、同じ次数の頂点が存在する。 以上より(a)は成り立つ。 もうちょっとうまいやり方がありそうなものですが、 ちと思い付きませんでした。
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