場合の数の組み合わせについてお願いします。

質問

以下の問題についてどなたかよろしくお願いします。
問題

クリ　カキ　リンゴがそれぞれダンボール一箱ずつある。
(1) これらの中から合計5個を選びたい。その選び方は何通りか。

(2) クリ　カキ　リンゴをそれぞれ少なくとも一個は入れて
合計5個を選びたいその選び方は何通りあるか。

以上の(1)と(2)の問題ですが。
(1)も(2)も樹形図を書くと簡単にできますが
問題集の答えには
(1)　組み合わせ７ｃ２とあります。答えは樹形図と同じ21通りです。
この７と２はどのように考えるのですか？

又(2)も同じく
組み合わせ４ｃ２とあります。答えは樹形図と同じ6通りです。
これも同じく４と２はどのように考えるのですか？

これらの問題は数も少なく数え上げても出来ますが
大きな数字になった場合どのように考えているのかとても知りたいです。
質問Ａ
組み合わせだとは分かりますが又組み合わせの計算もできますが
どうして、(1)は７と２と考えるのか
(2)は４と２と考えるのか全く理解できません。
どなたか中学生に教えるように教えていただけないでしょうか。
質問Ｂ
又(2)は少なくともとありましたので、すぐに余事章が頭にひらめいて
しまい、頭がこんがらがってしまいました。

質問ＡＢをどなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか？

この問題が分からないと私は順列や組み合わせが分かっていないと
考えないといけないでしょうか？

よろしくお願いします。教えて下さい。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
まず，この問題では，クリ，カキ，リンゴはそれぞれを区別しないことはわかりますね。それから例えばクリ1個，カキ2個，リンゴ2個とクリ1個，リンゴ2個，カキ2個は区別しないこともわかりますね。ここから，求めるのは組み合わせであって，その数は選んだクリ，カキ，リンゴの数だけをこの順で考えればよいことがわかります。クリ，カキ，リンゴの数がこの順に書き出してみると
0-0-5
0-1-4
0-2-3
0-3-2
0-4-1
0-5-0
1-0-4
1-1-3
1-2-2
1-3-1
1-4-0
2-0-3
2-1-2
2-2-1
2-3-0
3-0-2
3-1-1
3-2-0
4-0-1
4-1-0
5-0-0
です。21とおりです。これは7C2と等しくなるのですが，それはなぜかを考えます。上記の数の並びをみると，合計が5になって途中を-で区切っているだけだということがわかります。ここから
◯◯◯◯◯ーー
を適当に並べ替えたものと1対1に対応がつくことがわかります。つまり
0-0-5...ーー◯◯◯◯◯
0-1-4...ー◯ー◯◯◯◯
0-2-3...ー◯◯ー◯◯◯
0-3-2...ー◯◯◯ー◯◯
0-4-1...ー◯◯◯◯ー◯
0-5-0...ー◯◯◯◯◯ー
1-0-4...◯ーー◯◯◯◯
1-1-3...◯ー◯ー◯◯◯
1-2-2...◯ー◯◯ー◯◯
1-3-1...◯ー◯◯◯ー◯
1-4-0...◯ー◯◯◯◯ー
2-0-3...◯◯ーー◯◯◯
2-1-2...◯◯ー◯ー◯◯
2-2-1...◯◯ー◯◯ー◯
2-3-0...◯◯ー◯◯◯ー
3-0-2...◯◯◯ーー◯◯
3-1-1...◯◯◯ー◯ー◯
3-2-0...◯◯◯ー◯◯ー
4-0-1...◯◯◯◯ーー◯
4-1-0...◯◯◯◯ー◯ー
5-0-0...◯◯◯◯◯ーー
です。
◯◯◯◯◯ーー
を適当に並べ替えたものというのは，全部で7個の記号のうちの2個をーにしたものです。7個のものから2個を選んだ組み合わせの数と同じだということがわかりました。
3種類から5個を選ぶときは，5個の◯と2個のーからなる合計7個の記号から2個のーを置く場所を選ぶということです。
r種類からn個を選ぶときは，n個の◯と(r-1)個のーからなる合計(n+r-1)個の記号から(r-1)個のーを置く場所を選ぶということで，(n+r-1)C(r-1)です。
(2)
この場合には少なくとも1個は入れるのですから，最初から1個は選んだと考えてください。そうすると，クリ，カキ，リンゴを合計で2個選べば十分です。そこにあとからクリ，カキ，リンゴをそれぞれ1個づつ加えてやればよいのです。
そうすると3種類から2個を選ぶのですから4C2ですね。

> この問題が分からないと私は順列や組み合わせが分かっていないと考えないといけないでしょうか？

これは単なる組合せではなく重複組合せと呼ばれる考え方です。

お礼

早くに本当にありがとうございました。
とても助かりました。

そう言う事だったのですね。とても理解できました。
重複組合せというのですね。
そんな問題を探してもう一度挑戦したいと思っています。
本当に自分にとっては凄い勉強になりました。

解説もなく訳が全くわからなかったので
本当に助かりました。

ありがとうございました。
早く教えていただいたとおり、色々と乗り越えたいと思っています。
感謝しています。お礼申しあげます。