接線の問題です。

質問

次の問題を教えてください。
f(x)=x^3-3x^2+20に対して、xy平面上の曲線 y=f(x)　をＣとするとき、次の各問いに答えよ。
（１）曲線Ｃの接線のうち、点（１，１）を通るものの本数を求めよ。
（２）aを実数の定数とする。点（a,6a+12)　を通る曲線Ｃの接線がちょうど３本引けるような、aの値の範囲を求めよ。

です。よろしくお願いします。

回答No.3

hiropi- · ベストアンサー

すみません。嘘が混じってました。やはり即解きはまずかったですね。３次方程式の解は必ずしも３つとは限りませんね。あなたの言うとおり、
　g(n)=2n^3-6n^2+6n-19とおいてnで微分し、増減表を書いて調べる必要がありますね。ずばり答えは１本でしょう。数学最近やってないから力が落ちてるな。今度見直しておこ。それに気付いたあなたはエレス　コレクート！（スペイン語で「すばらしい」という意味です）

お礼

解答ありがとうございました。今回のようにアドヴァイスに沿って考えていくとより理解が深まって、すごく為になります。hiropi-さんの親切にエレス　コレクート！です。

回答No.2

hiropi-

（1）を解いてみました。解法の手順は曲線Ｃの接点の個数＝本数を求めます。

　　f(x)=x^3-3x^2+20をxで微分すると
　　f'(x)=3x^2-6x
　となり、点(1,1)を通る接線の接点を(n,n^3-3n^2+20)とおく
　このとき接線の方程式は
　　y=(3n^2-6n)(x-n)+n^3-3n^2+20すなわちy=3n(n-2)x-2n^3+3n^2+20
　なのでこの接線式は(1,1)を通ることからx=1,y=1をそれぞれ代入して整理すると
　　2n^3-6n^2+6n-19=0となり、３次方程式なのでこの解は３つ存在する
　ゆえに、nが３つ存在することから曲線Ｃの接線のうち（1,1）を通るものは
　３本存在する

　※ざっと計算したので計算間違いがあるかもしれません。

補足

教えてもらった方法で解いてみました。
でも、１つ気になることがあったので質問します。

x=1,y=1 を代入して整理し、2n^3-6n^2+6n-19=0　
というところまではわかったのですが、この式を微分すると
6n^2-12n+6=6(n-1)^2 となり、増減表を書いてみると
単調に増加します。
という事は、この式の解は１つとなって曲線Ｃの接線のうち（１，１）を通るものは１本ということにはならないでしょうか？
自信はないのですがよろしくお願いします。

回答No.1

oodaiko

（２）の考え方だけ

まず(a,6a+12)を通るf(x)の接線とf(x)との接点(x,f(x))を求めます。
(x,f(x))での接線が(a,6a+12)を通るのだから
(x,f(x))での微分係数が、ちょうど(x,f(x))と(a,6a+12)を結ぶ直線の
傾きと一致していれば良いわけです
そこで
f(x) - (6a + 12) = f'(x) (x - a)
とすると、これは未知の係数aを含む３次方程式になります。
あとは例によってその３次方程式が３つの異なる実数解を持つように
aを決めてやればよいのです。

お礼

遅くなってすみませんでした。理解するのは時間がかかるほうなで・・・
教えていただいた考え方でやってみると出来ました。
ありがとうございました。