接線の本数

質問

ｘｙ平面上において、
点(3/2.a)　から　y = x^4-(3/2)*x^2 へ引いた
接線の本数をaの値で分類せよ。

いろいろ考えたのですが、全く理解不能です。。。
詳細にお教えいただけると助かります。

回答No.2

noname#224896 · ベストアンサー

点（　(3.2)，a）から
関数y = x^4 - (3/2)x^2 へ引いた接線について考える．
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【考えるポイント】
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y =(x^2)*{x^2 - (3/2)} ．．．(1)

この関数は，ｘ軸と交わるのは，ｘ＝０，±√(3/2)であり，
特に，ｘ＝０のとき，重解を持つことが判る，

更に，
ｘ→　-xとしたとき，
y =((-x)^2)*{(-x)^2 - (3/2)}
=y =(x^2)*{x^2 - (3/2)}
となるので，偶感数であることが判る．

場合分けが必要となる．
（１）
y=f(x) = x^4 - (3/2)x^2とおくと，

ｆ ’(x) = 4x^3 -3x
= x (4x^2 -3)
ｆ ’(x) = 0となるのは，
x= 0，±(√3)/2
つまり，
ｙ＝ｆ（ｘ）は，x= 0のとき，極大値をもち，

y=f(x)は偶感数より，
f(√(3)/2)=f(-√(3)/2)＝（9/１６）-(3/2)(3/4)
y =(x^2)*{x^2 - (3/2)}
=(3/4){3/4 - 3/2}
=(3/4)(-3/4)
=9/16

ｘ＝±(√3)/2のとき，y=-9/16の極小値をもつ．
x= 0のとき，ｆ（０）＝０（極大値）をもつ．

（ｙ＝ｆ（ｘ）は，アルファベットのｗのような曲線をしている．）

点（(3/2)，a）
3/2＞(√3)/2より，
ｆ（3/2) > ｆ（(√3)/2)
つまり，ｘ座標だけを考えると，
極小値を含め，極大値をとるｘの値よりも，
点ｘ＝3/2は，明らかに，大きいことが判る．

よって，グラフの形状より，

（i）a<-9/16のとき，
　接線の数は，３本
（ii）a=-9/16のとき，
　接線の数は，２本
（iii）-9/16<a≦0のとき，
　接線の数は，３本
（iv）a>0のとき，
　接線の数は，３本

　以上となる．

回答No.1

mister_moonlight

基本的な問題。

曲線上の点(α、α＾4-3α＾2/2)における接線は　y＝(4α＾3-3α)*(x-α)＋α＾4-3α＾2/2　‥‥(1)
これが点(3/2、a)を通るから、(1)に代入して整理すると、2a＝-6α＾４＋12α＾３＋3α＾2－9α。
よつて、y＝2a(＝x軸に平行な直線)とy＝-6α＾４＋12α＾３＋3α＾2－9αとの交点の数を求めると良い。
y＝-6α＾４＋12α＾３＋3α＾2－9α　は微分を使って、グラフを書く。

ここまで説明すれば、後は自分で出来るだろう。