対数と二次関数について

質問

この問題の解は計算では求められないのでしょうか。パッと見で解は1と分かりますが計算では出し方がわかりません。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

logの底はeだと思っておきます(^^;)。

　考え方にもよりますが、1^2＋log1－1＝1－1＝0だから、計算でx＝1は解だとわかったとは言えます。後は、これ以外に解のない事を言えばOKです。

　で、グラフを書くと添付図となり、y(x)＝x^2＋logx－1は単調増加みたいだとすぐわかります。例えば、eは2.8くらいの数値なので、

　　(1)y(1/e)＜0　かつ
　　(2)0＜y(e)　で、
　　(3)1/e＜x＜eの範囲で、y(x)が単調増加なら、
　　(4)1/e＜x＜eの間に、y(x)＝0の解は存在し、しかもただ一つです。
　　(5)eは2.8くらいの数値なので、1/e＜x＜eの間にx＝1は含まれます。

　「(1)～(5)は明らか！」は、使って良い条件の範囲に入ると思います。

　まず(1)。
　　明らかに、1/e＜1なので、
　　y(1/e)＝(1/e)^2＋log(1/e)－1＜1＋log(1/e)－1＝log(1/e)＝－1＜0．

　(2)
　　明らかに、0＜e^2なので、
　　y(e)＝e^2＋log(e)－1＝e^2＋1－1＝e^2＞0．

　(3)
　　x＞0で、
　　y’(x)＝2x＋1/x＞0．は明らか。
　　よってy’(x)はx＞0で、単調増加。

　従ってy’(x)＝0は、1/e＜x＜eの範囲に解を持ち、しかも唯一つ。
　それで試しにx＝1を代入してみたら、

　　y(1)＝1^2＋log1－1＝1－1＝0

となり、出来ちゃった！(^^)。

　自分はこういうやり方を、「出来ちゃった結婚」ならぬ「出来ちゃった解法」と呼んでおります(^^)。大学の数学では、こういうやり方は頻繁に出てきます。必ずしも解ける式ばっかり、相手にしてる訳ではないからです。

　なお「(1)～(5)は明らか！」と言うためには、#2さんの仰るように、中間値の定理が必要です。

回答No.2

sonofajisai

x=e^yとおきます。
x^2+logx-1=e^2y+y-1
f(y)=0の実数解を求めます。
f(y)=e^2y+y-１
　　=Σ[n=0, ∞](2y)^n/n!+y-1
=3y+Σ[n=2, ∞](2y)^n/n!
定数項がないことからy=0がf(y)=0の解であることがいえる。
また、f'(y)>0と中間値の定理からf(y)=0の解はただ一つであるといえる。
よって
x^2+logx-1=0
のx>0である解は
x=2^0=１
のみである。

回答No.1

noname#230423

まずlogの底がないので答えようがありませんよ。書き忘れだと思うのですが…