- 締切済み
イデアルのアフィン多様体の証明問題を教えて下さい
この問題が分からず困っています。 イデアルI,Jがあり、I,Jで定義されるアフィン多様体V(I),V(J)がある。 この時 (1)V(I∧J)=V(IJ)=V(I)∨V(J) (2)V(I+J)=V(I)∧V(J) を示せという問題です。 分かる方、どうかお願いいたします。
- o-saka-iru
- お礼率68% (42/61)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
(1) a∈V(I∩J)…(1.1) h=∈IJ とすると h=Σ_{k=1～n}(f_n)(g_n) となる {f_k∈I,g_k∈J}_{k=1～n} がある (h∈I)&(h∈J) だから h∈I∩J だからこれと(1,1)から h(a)=0 だから a∈V(IJ) だから V(I∩J)⊂V(IJ)…(1.2) a∈V(IJ)…(1.3) f∈I∩J とすると (f∈I)&(f∈J) だから ff∈IJ だからこれと(1,3)から ff(a)={f(a)}^2=0 だから f(a)=0 だから a∈V(I∩J) だから V(IJ)⊂V(I∩J) ∴これと(1.2)から V(I∩J)=V(IJ) a∈V(IJ) f∈I g∈J とすると fg(a)=f(a)g(a)=0 だから f(a)又はg(a)=0 だから a∈V(I)又はa∈V(J) だから a∈V(I)∪V(J) だから V(IJ)⊂V(I)∪V(J)…(1.4) a∈V(I)∪V(J)…(1.5) h∈IJ とすると h=Σ_{k=1～n}(f_k)(g_k) となる {f_k∈I,g_k∈J}_{k=1～n} があるこれと(1.5)から {f_k(a)=0}_{k=1～n} 又は {g_k(a)=0}_{k=1～n} だから h(a)=Σ_{k=1～n}(f_k)(a)(g_k)(a)=0 だから a∈V(IJ) だから V(I)∪V(J)⊂V(IJ) ∴これと(1.4)から V(IJ)=V(I)∪V(J) (2) a∈V(I+J)…(2.1) f∈I g∈J とすると ff∈I gg∈J ff+gg∈I+J だからこれと(2.1)から (ff+gg)(a)={f(a)}^2+{g(a)}^2=0 だから f(a)=g(a)=0 だから a∈V(I)∩V(J) V(I+J)⊂V(I)∩V(J)…(2.2) a∈V(I)∩V(J)…(2.3) h∈I+J とすると h=f+g f∈I g∈J となるf,gがあるこれと(2.3)から f(a)=g(a)=0 だから h(a)=f(a)+g(a)=0 だから a∈V(I+J) だから V(I)∩V(J)⊂V(I+J) これと(2.2)から V(I+J)=V(I)∩V(J)
関連するQ&A
- イデアルを使った証明
Rを環とし、I,JをRのイデアルとしたとき 『IとJの共通部分I∩Jもイデアルになる』 ということを証明したいのですが、どうしたらいいか分かりません。 イデアルの定義を応用してなんとかなるのかなど、 考えてみたのですが、分かりません。 どのように証明したらいいか教えてください。 お願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- イデアルについてです。
Rは可換環。 IはRの素イデアル。 J１、J2がRのイデアルであるとき、J１J２⊂I ⇔ J1⊂I または J2⊂I であることを証明する問題なんですが、どうして左向きの矢印は、イデアルの定義から自明だといえるのでしょうか？ かなりあきれる質問だと思われますが、くわしく教えてもらえたらうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ヒルベルトの零点定理を使うこの問題を教えて下さい
イデアルJ=<x^2+y^2-1,y-1>があるとき、f∈L(V(J))であってf∉Jであるような多項式fを求めよ。 という問題です。 V(J)がアフィン多様体、L(V(J))が多様体Vのイデアルです。 どなたか分かる方、お願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の、環とイデアルの問題を教えて下さい。
この問題が分からず困っています。 Aを環とし、I,JをAのイデアルとする。 I∪JはAのイデアルには一般にならないことを具体的なA,I,Jをあげて証明しなさい。 という問題です。分かる方、よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- イデアルについて
環Rのイデアル I_1=(a1,...,an)、I_2=(b1,...,bn)の積I_1I_2を (aibj)_{1≦i≦n,1≦j≦m}:nm個の元aibjで生成されるイデアル で定義する (例 (I_1=(a1,a2)、I_2=(b1,b2,b3) (⇒I_1I_2=(a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3) この時、Z[√(-5)]のイデアル α1=(2,1+√(-5))、α2=(2,1-√(-5)) β1=(3,1+√(-5))、β2=(3,1-√(-5)) に対し α1α2=(2)、β1β2=(3) α1β1=(1+√(-5))、α2β2=(1-√(-5)) を示せ 解き方がわかりません。 教えてください(。í _ ì。)
- 締切済み
- 数学・算数
- イデアルについて
(1)イデアルのノルムについて 初等整数論講義などの二次体に限った議論をしている本では、イデアルIのノルムN'(I)(あえて'をつけています)とは共役イデアル(Aの元の共役全体の集合)をI'としたときII'=(n)となる有理整数のことだと定義しています(nの存在は証明されている)。 これは一般のデデキント環AにおけるイデアルIのノルムN_A(I):=|A/I|に矛盾するでしょうか？ しないとしたら証明をお願いします。 (2)アルティン環のイデアルは有限個ですか？ k[x^2, x^3]/(x^4) においてax^2 + bx^3 (a,b は体kの元)で生成されるイデアルたちが無限個ありそうなので、偽と踏んでいますが厳密な証明を与えられる方はいらっしゃいませんか。 (3)Z[x]のイデアル(の形)を全て求めてください。ただし https://math.stackexchange.com/questions/300170/ … にある情報は断りなく使用して良いです。解かれているか否か、情報だけでもいいですし、考察でもいいので是非ご回答ください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 環の直積のイデアルについて
A、Bが環である時、A×BのイデアルはI×J （ただし、IとJはそれぞれAとBのイデアル）という形で書けますか？ もしそうなら証明も教えください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- イデアルの重要性が分かりません
イデアルの定義は、 ある集合Rに含まれる部分集合である環Iの元aとRの元bの積が Iの元であるときのaをイデアルと呼ぶ というものですが、これの一体どこがどう重要なのでしょうか？ よく書籍では環論においてもっとも重要な概念で一つである というように説明されますが、どこがどう重要なのか分かりません。 どなたか平易な言葉で説明して頂けないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 形変換 アフィン変換
形変換 アフィン変換 前回同様の内容で質問させて頂きました。 不明な点がいくつかありますので改めて質問させて頂きます。 前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5957715.html アフィン変換 ⊃ 線型変換 であるとご回答頂いたのですが、これはアフィン変換は 線形変換を含むという認識で良いでしょうか？ 線形変換はアフィン変換の部分集合だと理解したのですが間違いでしょうか？ また、線形変換及びアフィン変換の定義に関して ・線型変換の定義： [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 ・アフィン変換の定義： [2] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 とご教示頂きました。 定義[1]，[2]について考えると、 [1]が成り立てば、[2]は成り立つと思います。 [1]はa+b=1によらず、f(ax+by)＝af(x)+bf(y)が成り立ちますから。 翻って、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと 言う事になりませんか？この点で混乱しています・・・ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
