搬送波,側帯波の電力の求め方

質問

教科書の問題を解いていたのですがわからない点があり質問させていただきました。
搬送波信号　vc(t)=Vc cosωct
変調波信号　vs(t)=Vs cosωst
より
被変調波信号　v(t)=Vc cosωct + ((Vcm)/2){cos(ωc+ωs)t+cos(ωc-ωs)t}
を導出することはできるのですが、その後教科書には単一正弦波信号で変調を行った場合、負荷の抵抗をRとしたとき
搬送波電力Pc=(1/R)×(Vc/√2)^2={(Vc)^2/(2R)}
上側帯波電力Ph=(1/R)×{(ｍVc)/(2√2)}^2=(m^2/4)Pc
下側帯波電力Ph=(1/R)×{(ｍVc)/(2√2)}^2=(m^2/4)Pc
となるとあるのですが、これらのPc,Ph,Plはどのようにしたら導出できるのでしょうか？

なるべく詳しく教えていただけると助かります。

お手数おかけしますがよろしくお願いします。

回答No.3

mdmp2

NO.1 です。

＞T=1/f=2π/(ωc) となるのも分かるのですがT=2π、
＞積分範囲0~2πと考えるのは間違いでしょうか？
T=2π (ということは、f=1/(2π) Hz ) の場合は積分範囲は0～2πで良いと思います。

数学的に言えば問題はあるのでしょうが、電力の計算には周波数は関係ありませんので、Tを計算しやすい値に設定して答えを求めることは差し支え無いと思います。

回答No.2

mdmp2

直流の場合、電力=V^2/R
交流の場合、電圧が刻々と変化していますので、電力も同様に変化しています。
交流の電力は、刻々と変化する瞬時電力を１周期にわたって積分し、平均化した（周期で割った）値です。
搬送波電圧はVc cosωct
電力(瞬時値)=[{Vc*Cos(ωct)}^2]/R
電力(1周期にわたって平均) = (1/T)∫[{Vc*Cos(ωct)}^2]/R dt
　(積分の範囲は0～T ですが、上の式に書き込むのが難しいので積分記号の下に「0」、
　上に「T」と記述されているものとして見てください。
　なお、T は周期を表し、T=1/f=2π/(ωc) です。）
少々順序を入れ替えて、
　= (Vc^2)/R* (1/T)∫{Cos(ωct)}^2 dt
　(1/T)∫{Cos(ωct)}^2 dt は1/2 になります。
　興味がありましたらやってみてください。

よって、
搬送波の電力(1周期にわたって平均)
　Pc = （Vc^2)/R/2 = {(Vc)^2}/(2R)
この結果を利用して、側帯波の電力を求めると、
上側帯波の電力(1周期にわたって平均)
　Ph(Pl も同じ) = {(mVc/2)^2}/(2R) = {(m/2)^2}{(Vc)^2}/(2R)
　= {(m)^2}{(Vc)^2}/(2R)/4
少々順序を入れ替えて、
　{(Vc)^2}/(2R)はPc に等しいので、
　Ph(Pl も同じ) = [(m)^2}/4]PC
※m は変調度(0≦m≦1)、m=1 のとき上下側帯波の電力は搬送波電力の1/4 になります。

さて、交流の電力を求めるのに、瞬時電力をいちいち積分していたのでは面倒です。
サイン波の１周期にわたる積分の平均値は1/2 になることがわかりましたので、それを使って、最大値がV の交流電圧が、直流電圧Vdc に対してどのくらいの効果があるか考えてみます。
交流電力 = (V)^2/(2R) = (V/√2)^2/R
直流電力 = Vdc^2/R
交流電力 = 直流電力 とすると、
　(V/√2)^2/R = Vdc^2/R
交流電圧の最大値V の√2分の1 と直流電圧Vdc が等価であることがわかります。
そこで、交流の場合、最大値V の√2分の1 を実効値と言います。
実効値を使うと、直流と同様に交流の電力計算をすることができます。
質問の場合も、最大値と実効値の関係がはじめから分かっているなら、Vc cosωc の実効値はVc/√2 ですから、「積分」を持ちださなくても、電力は(Vc/√2)^2/R = {(Vc)^2}/(2R)と計算できます。

ちなみに、各家庭にきているAC100V とは実効値での100V です。最大値は約141V あります。

補足

T=1/f=2π/(ωc) となるのも分かるのですがT=2π、積分範囲0~2πと考えるのは間違いでしょうか？

回答No.1

foobar

それぞれの成分の電圧瞬時値を　V sin(ωt)とすると、
各成分の電圧実効値は V/√2,　電力は　電圧実効値^2/RL=V^2/(2RL) になります。
あとは、搬送波や側帯波の振幅から、計算することになります。