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むずい・・・・
早速なんですが・・・ ａを実数の定数とする。関数f(x)=x^2-|x-a|-a^2＋3a (1)関数f(x)の最小値をm(a)とするときm(a)を求めよ。 (2)aが-1≦a≦2の範囲を動くとき(1)で求めたm(a)の最大値を求めよ。という問題なんですが、 絶対値が＋か－かで場合分けするのはわかるんですけど、その後がわかりません、（解説が不親切で・・ 答えはわかっていますので、解説教えてください。
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- hinebot
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- proto
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(1) 『グラフの形が解れば少しは簡単になりますが なかなか式だけではわかりにくいので とりあえず場合分けをします』 (ア)x-a≧0 すなわち x≧a のとき f(x)=x^2-(x-a)-a^2+3a =x^2-x-a^2+4a =(x-1/2)^2-a^2+4a-1/4 (イ)x-a＜0 すなわち x＜a のとき f(x)=x^2-(-(x-a))-a^2+3ax＜a =x^2+x-a^2+4a =(x+1/2)^2-a^2+2a-1/4 『x=aを境に場合分けするので、x=aの左右でグラフを書き分けなければいけません そうするとaの値によっては谷が２つ出来るのですが、次にその谷のうちどちらが最小値なのかを判別します』 (-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a より a≧0のときf(x)は x=-1/2で最小値 -a^2+2a-1/4 をとり a＜0のときf(x)は x=1/2で最小値 -a^2+4a-1/4 をとる 『-a^2+2a-1/4をとるときx＜aの条件が付きますが a≧0より、最小値をとるx=-1/2では常にx<aとなります もう一つの式も同様です』 以上より m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a＜0) (2) 『aが正のとき、負のときについて(1)で式が出ているのであとは平方完成して最大値を求めるだけです』 (ア)0≦a≦2のとき m(a)=-a^2+2a-1/4 =-(a-1)^2+3/4 よってa=1のとき最大値3/4をとる 『a=1が0≦a≦2の範囲に含まれていることがポイントです』 (イ)-1≦a≦0のとき m(a)=-a^2+4a-1/4 =-(a-2)^2+15/4 よってa=0のとき最大値-1/4をとる 『a=2は-1≦a≦0の範囲に含まれないのでa=0のときが最大になります、注意しないと間違えます』 以上よりm(a)はa=1のとき最大値3/4をとる
補足
馬鹿でスイマセン (-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a をなぜするかわかりません。 あと、それで最小値の範囲がわかるのかわかりません ＰＳでもなんとなくわかってきた気がします。。 それ以外はよく理解できましたあと一歩です ご協力お願いします。。
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補足
それと、解説にこんなことが書いてありました a＜－1/2,-1/2≦a＜0,0≦a＜1/2,1/2≦aのそれぞれの場合のf(x)のグラフが右図のようになるから、 m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a＜0) になると書いてありました、 a＜－1/2,-1/2≦a＜0,0≦a＜1/2,1/2≦a この場合分けのグラフはなんの意味があるんですか？ ２人ともやってなかったのでどうしてなのかなと思いまして、質問します。。